НОУ ІНТУІТ, Лекція, Інтерполяція функцій

6.7. Багаточлени Чебишова та мінімізація залишкового члена інтерполяції

Багаточлен Чебишева першого роду називається функція Tn(t) = cos (n arccos t) , де

Переконаємося у цьому, що функція Tn(t) справді є многочленом. При n = 0 і n = 1 маємо T0(t) = 1, T1(t) = t.

За формулою суми косинусів і справедливо рекурентне співвідношення Tn + 1(t) + Tn - 1(t) = 2T1(t)Tn(t) , або Tn + 1(t) = 2t Tn(t) - Tn - 1 (t) . Звідси випливає вигляд запису поліномів Чебишева: T2 = 2t 2 - 1, T3(t) = 4t 3 - 3t, T4(t) = 8t 4 - 8t 2 + 1 і так далі. Функції Tn(t) є многочленами ступеня n зі старшим членом 2 n - 1 t n .

Введемо також нормовані багаточлени Чебишева

Нулі багаточлена Чебишева знаходяться з очевидного рівняння Tn(t) = cos (n arccos t) = 0, звідки

Нас цікавить вирішення наступного завдання на мінімакс: знайти

щоб шляхом вибору вузлів сітки мінімізувати залишковий член інтерполяції. Це завдання було вирішено П.Л.Чебишевим.

Теорема. (Чебишева (без доказу))Серед усіх багаточленів ступеня зі старшим коефіцієнтом an рівним одиниці, найменше ухилення від нуля, що дорівнює 2 1 - n, має нормований поліном Чебишева

Це властивість поліномів Чебишева, найменше ухилення від нуля, можна сформулювати інакше: будь-якого полінома Pn(t) = t n + an - 1t n - 1 + . + a0, відмінного від справедливо

Якщо в якості інтерполяційних вузлів вибрати нулі полінома Чебишева, то твір і Rn (t) будуть найменш ухиляються від нуля.

6.8. Зумовленість задачі інтерполяції. Постійна Лебега

У процесі обчислень значення функції, що інтерполюється, відомі з деякою похибкою. При роботі на обчислювальній машині помилкиокруглення неминучі. Виникає питання про чутливість інтерполяційного полінома до помилок початкових даних (обумовленості задачі інтерполяції) та до помилок округлення (запитання обчислювальної стійкості). Інтерполяційний поліном - оператор, лінійний по відношенню до значень функції, що інтерполюється. З урахуванням похибки початкових даних поліном у формі Лагранжа може бути записаний таким чином:

характеризує чутливість до помилок початкових даних та помилок обчислень. Нас цікавить оцінка

Коефіцієнт lN називається постійною Лебега.

Введемо на розгляд ще один об'єкт. Нехай – сума модулів усіх базисних функцій. Позначимо її – функція Лебега (сітки). Тоді константа Лебега

Оскільки функція Лебега залежить від розташування вузлів сітки, те й константа Лебега залежить від введеної сітки. Обумовленість і стійкість завдання інтерполяції залежить від константи Лебега.

Звичайно, реальна похибка при інтерполяції буде свідомо меншою, ніж наведена вище оцінка. Проте оцінка є досяжною (це властивість норми оператора). Найгіршим розподілом похибки буде такий розподіл, коли похибки максимальні та змінюють знак від точки до точки. Те, що при цьому буде досяжна наведена вище оцінка, випливає з виду функції Лебег і кожної з базових функцій. Пропонуємо читачам відповідні побудови провести самостійно.

Наведемо (без підтвердження) приблизні оцінки зростання постійної Лебега залежно від кількості вузлів сітки. Константа Лебега росте приблизно як для рівномірної сітки та для сітки з чебишевським набором вузлів. Доведено, що зростання константи Лебега для останньої сітки асимптотично прагне мінімально можливого, і сітка з чебишевськими вузлами близька дооптимальною для завдань інтерполяції.

---