Обчислення та запис наближених чисел
1.5.1. Запис наближених чисел
Наближені числа прийнято записувати у стандартній формі:
де – десяткове число з плаваючою комою, що містить стільки ж розрядів, скільки значущих цифр у наближеного числа, – позитивне чи негативне ціле число, яке називається порядком числа.
1) Щільність кисню 0,00143 г/см 3 = 1,43 кг/м 3 (1 кг/м 3 = 10 -3 г/см 3).
2) Швидкість світла у вакуумі 300 000 км/с = 3·10 8 м/с.
Значні цифри наближеного числа може бути вірними чи невизначеними (сумнівними).
Якщо абсолютна похибка наближеного числа вбирається у одиниці останнього розряду, всі значні цифри наближеного числа називаються правильними.
Щільність ртуті дорівнює 13,5955 г/см3.
Округлимо це значення до сотих: 13,60 г/см 3 = 13,60 10 3 кг/м 3 . Усі цифри числа 13,60 вірні, оскільки абсолютна похибка округлення дорівнює 13,60 - 13,5955 = 0,0045, що менше 0,01.
Вірними будуть усі значущі цифри наближеного числа, отримані в результаті округлення.
Якщо абсолютна похибка наближеного числа перевищує одиницю останнього розряду, остання цифра наближеного числа є невизначеною.
При вимірюванні об'єму рідини мензуркою отримано результат: (140±5) мл. Цифра 0 серед 140 перестав бути значимої, оскільки абсолютна похибка більше одиниці останнього розряду.
При зведенні в ступінь наближеного числа або витягу з нього коренів слід зберегти в результаті стільки значних цифр, скільки правильних значущих цифр має вихідне число.
(3,4·10 2 ) 3 = 39304000 » 3,9×10 7 (у вихідному числі дві значущі цифри).
1.5.2. Додавання та віднімання наближених чисел
При додаванні та відніманні наближених чисел, у запису якихвсі цифри вірні, залишають стільки десяткових знаків, скільки їх має число з найменшою кількістю десяткових символів.
1) 5,14 + 12,1 + 6,353 = 23,593» 23,6.
2) 405 + 0,43 = 405,43» 405.
1.5.3. Множення та розподіл наближених чисел
При множенні та розподілі наближених чисел слід зберегти в результаті стільки значущих цифр, скільки має наближене число, дане з найменшим числом вірних цифр.
1) 1,5 · 220 = 1,5 · 2,2 · 10 2 » 3,3 · 10 2 .
2) 1,5 · 35 = 52,5 » 52.
1.5.4. Використання табличних значень
При використанні таблиць слід пам'ятати, що похибки наведених значень дорівнюють половині наступного розряду за останньою цифрою. Наприклад, якщо в таблиці зазначено: r = 2,7 10 3 кг/м 3 , то насправді r = (2,70 ± 0,05) 10 3 кг/м 3 .
Точність запису (число значущих цифр) окремих вимірювань та наступних обчислень під час їх обробки повинна бути узгоджена з необхідною точністю результату вимірювання. Тут рекомендується дотримуватись таких правил.
1. Якщо перша із замінюваних нулями або цифр, що відкидаються, більша або дорівнює 5, але за нею слід відмінна від нуля цифра, то останню цифру, що залишається, збільшують на одиницю.
Приклад.
1) 8,3351 (округлити до сотих) ≈ 8,34;
2) 0,2510 (округлити до десятих) ≈ 0,3;
3) 271,515 (округлити до цілих) ≈ 272.
2. Якщо перша (зліва направо) із замінюваних нулями або цифр, що відкидаються менше 5, то цифри, що залишилися, не змінюють. Зайві цифри у цілих числах замінюють нулями, а десяткових дробах відкидають.
Приклад.
За збереження чотирьох значущих цифр
1) число 283435 має бути округлено до 283400;
2) число 384,435 – до 384,4.
3. Числоцифр у результатах проміжних розрахунків зазвичай має бути однією більше, ніж у остаточному результаті. Похибки при проміжних обчисленнях повинні бути виражені не більше ніж трьома цифрами.
4. Округлювати результат вимірювання слід так, щоб він закінчувався цифрою того ж розряду, що значення похибки. Якщо десятковий дріб у числовому значенні результату вимірювання закінчується нулями, то нулі відкидають лише для того розряду, який відповідає розряду похибки.
Приклад.
Число 0,67731 при похибці ± 0,005 слід округлювати в третій цифрі до значення 0,677.
5. Обчислення похибки вимірювань також слід проводити з більшою точністю, ніж обчислення значення самої вимірюваної величини.
1.6. Побудова графіків
В експериментальній фізиці результати вимірювань важливо подати у наочній формі, зручній для використання та обробки. Зазвичай при цьому становлять таблиці, графіки та рівняння. Подання даних у вигляді таблиць полегшує порівняння різних значень, тому дані досвіду, як правило, записують у таблицю, яка дозволяє також вести та обробку результатів вимірювань. При побудові графіка функціональна залежність стає очевидною, а результати досвіду наочними. Подивившись на графік, можна відразу оцінити вид отриманої залежності, отримати про неї якісне уявлення та відзначити наявність максимумів, мінімумів, точок перегину, областей найбільшої та найменшої швидкостей зміни, періодичності тощо. Графік дозволяє також судити про відповідність експериментальних даних аналізованої теоретичної залежності та полегшує обробку вимірювань. Найчастіше графік є залежність між двома змінними. При його побудові необхіднокористуватися певними правилами:
1) Графіки виконуються переважно на міліметровому папері чи папері зі спеціальними координатними сітками.
2) Як осі координат слід застосовувати прямокутну систему координат (це полегшує використання побудованого графіка). Загальноприйнято по осі абсцис відкладати ту величину, зміни якої причиною зміни інший (тобто. по осі абсцис – аргумент, по осі ординат – функцію). Осі координат слід закінчувати стрілками. На осі наноситься масштаб, невдалий вибір якого – одна з найпоширеніших помилок, що часто знецінює графік.
3) Масштаб наноситься так, щоб відстань між розподілами становила 1, 2, 5 одиниць (допустимо 2,5 та 4). Число поділів з цифрами на кожній осі становить зазвичай від 4 до 10. Наприкінці осі вказується величина, що відкладається, і одиниці її вимірювання. Зазвичай туди виноситься і порядок масштабу ( , де - ціле число). При цьому множник, що визначає порядок величини, може включатися в одиниці виміру, наприклад: , мА або , 10 А. Якщо початком відліку є нуль, його слід вказувати у точці перетину осей. Масштаб потрібно вибирати так, щоб крива зайняла весь аркуш, а похибка виміру відповідала одному-двом дрібним поділом графіка. При цьому початок відліку не обов'язково починати з нуля, іноді зручніше вибирати округлене число, відмінне від нуля, і таким чином збільшити масштаб, але похибка при цьому, як і раніше, повинна становити один-два дрібні поділки. Не слід розставляти ці числа надто густо. Приклад оформлення графічної залежності опору терморезистора від температури представлений на рис. 1.2.
4) Масштаби з обох осях вибираються незалежно друг від друга.
5) При дослідженні фізичних явищслід мати на увазі, що в тих областях, де хід монотонний кривий, можна обмежитися невеликим числом вимірювань (декількома точками кривої на графіку). У областях максимумів, мінімумів і точок перегинів слід проводити виміри значно частіше, що збільшить точність побудови графіка.
6) Точки повинні наноситися на графік ретельно та акуратно, щоб графік вийшов точнішим. На графік наносять усі отримані у вимірах значення. Якщо одна точка вимірювалася кілька разів, потрібно нанести середнє арифметичне значення і вказати розкид. Якщо на один і той же графік наносяться різні групи даних (результати вимірювання різних величин або однієї величини, але отримані в різних умовах тощо), то точки, що відносяться до різних груп, повинні бути позначені різними символами (кружечки, трикутники ▼ , ромбики ♦ тощо).
Мал. 1.2. Залежність опору терморезистора від температури
7) Похибка вимірювання зображують на графіку за допомогою “хрестиків” відповідних розмірів, нанесених поверх точок (див. рис. 1.2).
8) Пряму залежність на графіку проводять олівцем з допомогою лінійки. Криву проводять плавно від руки експериментальними точками. Для подальшого обведення кривої можна використовувати лекало.
9) Якщо функція змінюється на кілька порядків при малих змінах аргументу, зручно застосовувати системи координат з напівлогарифмічним або логарифмічним масштабом. Напівлогарифмічна система координат – це прямокутна система координат, по одній осі якої відкладено рівномірний масштаб, а по другій – логарифмічний (пропорційний логарифму натуральних чисел). Напівлогарифмічний масштаб зручний для зображення залежності типу. Логарифмуючи залежність, отримаємо , де . Якщонаносити величину х по осі рівномірної шкали, а величину у – по осі логарифмічної шкали, то вийде пряма лінія.
10) Логарифмічна система координат – це прямокутна система координат, обох осях якої відкладено логарифмічні масштаби. Логарифмічні координати дуже зручні для зображення залежності виду:
.
Логарифмуючи залежність, отримаємо:
.
У логарифмічній системі координат така залежність матиме вигляд прямої лінії.
Графік має бути наочним і прийнятним з естетичної точки зору (різні кольори для експериментальних точок та кривих). Побудований графік забезпечується підписом, у якому дається точне опис те, що показує графік. p align="justify"> Різні групи точок або різні криві на графіку також повинні бути позначені і пояснені в підписі до графіка.
Опрацювання результатів зводиться до з'ясування аналітичної залежності між величинами. Якщо ця залежність нелінійна, обробка буде складною. Однак, сучасні комп'ютерні програми (MS Excel, Origin та ін) дозволяють будувати різні види кривих за експериментальними точками. Побудова аналітичної залежності за експериментальними даними найчастіше проводять за методом найменших квадратів.
Зупинимося у разі, коли рівняння має вигляд прямої лінії: . Суть методу зводиться до наступного: необхідно знайти такі значення і при яких сума квадратів відстаней від прямої до експериментальних точок з координатами (= 1, 2, 3, …, ) була найменшою. Це еквівалентно мінімуму суми:
.
Умови мінімальності суми:
дають два рівняння для визначення та:
