Обертальний рух тіла - Студопедія
3.1 Загальні відомості та поняття.
Рух твердого тіла, при якому будь-якідві точкитіла залишаютьсянерухомими, називаєтьсяобертальним рухом тіла.
Нехай точки А та В тіла нерухомі: . Візьмемо будь-яку точку тіла: .
Т.к. точка С може рухатися тільки по колу радіуса ОС з центром на прямий АВ. Площина кола прямої АВ.
Наближаємо точку С до прямої АВ. Радіус кола зменшуватиметься і, коли точка З потрапить на пряму АВ, звернеться до 0, тобто. точка З зупиниться. Отже, вся пряма АВ складається із нерухомих точок тіла.
Якщо в твердому тілі є дві нерухомі точки, то в ньому існує безліч непорушних точок, що утворюють пряму, що проходить через дві нерухомі точки. Ця пряма називаєтьсявіссю обертання тіла.
В силу зазначеної властивості обертального руху положення всіх точок тіла можна знайти, якщо буде вказанокут повороту тіланавколо осі обертання. Цей кут вводиться в такий спосіб.
З початком у довільній точці осі обертання вибираємо нерухому систему координат Oxyz: осі Ox та Oy осі, а вісь Oz – вздовж осі обертання. З початком у цій самій точці будуємо рухливу систему : осі осі обертання, а
вісь – вздовж осі (збігається з віссю Oz). Ці осі прикріплені до точок тіла та рухаються разом із тілом. При обертанні тіла рухливі осі повертаються щодо нерухомих Ox та Oy, утворюючи з ними кут j. Це кут повороту тіла.
Знаючи цей кут, можна визначити положення всіх точок тіла у просторі.
Якщозадати цей кут як функцію від часу t,то отримаємозакон(аборівняння)обертального руху тіла:
Кутповороту тіла повинен вимірюватися в радіанах: .
3.2 Кутова швидкість та кутове прискорення тіла.
Якщо заданий закон (9), можна знайти
Ці величини (омега) і (епсілон) називаються, відповідно,кутовою швидкістю і кутовим прискоренням тіла при обертальному русі. Таким чином:
Рівності (10) та (11) визначають величини кутової швидкості та кутового прискорення. Для того, щоб можна було визначити не тільки швидкість зміни кута та кутової швидкості, а й напрям, в якому ця зміна відбувається (кут зростає, або зменшується; кутова швидкість зросте, або зменшується) вводяться вектори кутової швидкості та кутового прискорення тіла.
Вектор кутової швидкості тіла направляютьвздовж осі обертаннявід довільної точки осі в той бік, з якої обертання тіла виглядає тим, що відбуваєтьсяпроти ходу годинникової стрілки.
Вектор кутового прискорення тіла також спрямованийвздовж осі обертання: водну сторонуз вектором кутової швидкості, якщомодуль кутової швидкості зростає; упротилежну сторону– якщомодуль кутової швидкості зменшується.
При практичних розрахунках позитивний напрям кута повороту задається:
де - орт осі обертання z (як правило - в той бік, звідки обертання видно тим, що відбувається проти годинникової стрілки). Тоді формули (10), (11) визначають проекції кутової швидкості та кутового прискорення тіла на вісь обертання:
Якщо , то вектор направляють у позитивну сторону осі обертання (як і ), і якщо , то – в негативну бік осі обертання (протилежно до ).
Якщо , то вектори і однаково спрямовані; якщо ж, то – протилежно!
Як видно з формул (10),(11) (або (13), (14)) модуль кутової швидкості має розмірність «рад/с», а модуль кутового прискорення - «рад/с 2». Слово «рад» часто опускають, і пишуть «1/с», «з -1», «1/с 2», «з -2».
У техніці для вимірювання швидкостей обертання тіл замість кутової швидкості використовують величину, яка називаєтьсячастотою обертання, що позначається черезn і вимірюється воборотах за хвилину[об/хв]. Зв'язок між n і дуже простий: в одному обороті радіан, тому, якщо тіло робить n оборотів за хвилину, воно повертається на радіан за хвилину. Щоб отримати кутову швидкість тіла, треба поділити на 60 секунд. Скорочуючи на 2, отримаємо остаточно
3.3 Визначення швидкості та прискорення довільної точки тіла, що обертається.
Нехай задано рівняння (9) обертального руху тіла і тілі обрано довільну точку М.Потрібно знайти її вектори швидкості та прискорення у будь-який момент часу.
Т.к. закон обертання відомий, то за формулами (13) та (14) можна знайти вектори кутової швидкості та кутового прискорення тіла. Положення точки в тілі задамо її відстанню від осі обертання R (радіус кола, по якому рухається точка).
Зобразимо вид тіла зверху (з позитивного напрямку осі обертання) і перейдемо до природного способу завдання руху точки тіла: . Тоді
Таким чином, остаточно одержуємо.
Проекція швидкості точки тіла, що обертається на дотичну до кола
модуль швидкості точки тіла
дотичне прискорення точки тіла, що обертається
нормальне прискорення точки тіла
модуль прискорення точки тіла
Отримаємо векторні формули для швидкості і прискорення точки тіла, що обертається.
Розглянемо векторний твір
Його модуль дорівнює
що повністю збігається з виразом для модуля швидкості точки. Як легко бачити, збігаються і напрямки. Тому
Рівність (20) називаєтьсяформулою Ейлера для вектора швидкості точки тіла, що обертається.
З виразу (20) отримуємо
Порівнюючи з раніше отриманою формулою для прискорення точки, отримуємо
Відповідно до рівностей (16), (17) та (18) модулі швидкості, дотичного та нормального прискорень точок тіла в даний момент часу пропорційні їх відстаням до осі обертання. Тому при віддаленні осі обертання всі зазначені величини лінійно зростають.
Обертальний рух надзвичайно поширений у техніці, завдяки поширеннюмеханічних передач.
Механічна передача - це механізм, призначений для перетворення обертального руху одного тіла на обертальний (або поступальний) рух іншого тіла з перетворенням кутових швидкостей обертання.
Найпростіша механічна передача складається з двох коліс, що взаємодіють один з одним.
Взаємодія може бути безпосереднім із зовнішнім
або внутрішнім зачепленням
(При зовнішньому зачепленні колеса обертаються у різні боки, а при внутрішньому – в одну).
Уременних передачахколеса взаємодіють за допомогоюременя, накинутого на колеса
При розрахунках передач передбачається, що прослизання між взаємодіючими колесами немає , тобто. колеса щодо один одного не ковзають. Звідси можна отримати зв'язок між законами обертання коліс, між кутовими швидкостями, або між кутовими прискореннями взаємодіючих коліс.
Позначимо черезKточку взаємодії коліс у моментt.
Через проміжок часутобто. у момент колеса повернуться навколо своїх осей обертання, і точкаКпершого колеса перейде в положенняК1, а другого колеса - у положенняК2.
Так як ковзання між колесами немає, то цілком очевидно, що довжини дуг і рівні між собою:
Якщо радіуси коліс відомі, то, позначивши через кути поворотів (у радіанах!) відповідно першого і другого коліс, отримаємо в силу рівності дуг
є основою розрахунку механічних передач. Його називаютьумовою відсутності ковзання між колесами.
Якщо (25) продиференціювати за часом, то з огляду на сталість радіусів отримаємо
Вирази (26), або (27), називаютьпередавальним ставленням передачі(читається:кутові швидкості взаємодіючих коліс обернено пропорційні їх радіусам) .
(26) також означає, що швидкості точкиКу першого та другого коліс рівні (ковзання відсутнє!).
Диференціюючи (26) за часом ще раз, отримаємо
що означає рівність дотичних (тільки дотичних! ) прискорень точкиК.
Якщо потрібно врахувати напрямки обертання коліс, то рівності (25) (26) записують зі знаком:
Знак "+" беруть, якщо колеса обертаються в один бік (внутрішнє зачеплення, прямий ремінь). Знак «–» – при обертанні коліс у різні боки (зовнішнє зачеплення, перехрещений ремінь).
Сторінки за книгою С.М. Тарга:
Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:
Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно