Оцінюємо можливість приходу комбінацій у покері
Про який би різновид покеру не йшлося, існують строго певні назви покерних комбінацій. Їх всього дев'ять, але на їх основі виникають нові і нові покерні ігри.
У цій статті ми розповімо про методику підрахунку кількості різноманітних комбінацій у покері та про те, як таку роботу провести самому. Наприкінці статті наведено таблицю, що показує кількість та ймовірність утворення комбінацій. Відразу зазначу, що тут під словом покер розуміється п'ятикартковий оазис для стандартної колоди 52 аркуші.
Для того, щоб вміти оцінювати ймовірності в покерних завданнях, необхідно знання азів комбінаторики та теорії ймовірності. А поки що я пропоную обійтися без них і порахувати, скільки є комбінацій Роял-Флеш (п'ять карт однієї масті від Десятки до Туза). Сподіваюся, ніхто не сперечатиметься з тим, що їх у природі всього чотири штуки, по одній у кожній масті.
Також «на пальцях», без формул, увімкнувши уяву, можна підрахувати кількість комбінацій Каре (чотири карти однієї гідності).
У колоді існує 13 рангів карток - від Двійки до Туза. Відповідно, Каре може мати 13 переваг. Комбінація містить п'ять карток. Значить, у кожному з 13-ти Карерізних рангів п'ята карта може бути будь-якою з карт, що залишилися в колоді. Число карток у колоді – 52, чотири ми вже використовуємо. Залишається 48 вільних карт, які ми по одній можемо додавати до чотирьох карт одного рангу для отримання щоразу нової комбінації Каре. Помноживши 13 на 48, отримаємо624 - кількість можливих різних 5-ти карткових комбінацій Каре.
Так, не вдаючись до складних обчислень, ми вже маємо дві цифри - 4 і 624. Дивлячись на них, можна зробити висновок, що Роял-Флеш у 156 разів старший, ніж Каре (адже приходить він у 156 разів рідше). Стандартні виплати на покері це 20:1 за BET за Каре та 100:1 за Роял-Флеш. Так чому ж така сильна комбінація як Роял-Флеш оплачується всього вп'ятеро більше ніж Каре? Виходить, що творці правил не враховували ймовірності чи може бути справа в іншому? Відповідь проста: невідповідність рівня грошових виплат за комбінації їхньої реальної математичної цінності - це просто умовність, яка допомагає зробити гру цікавішою.
Чим красивіша (читай сильніша) комбінація покеру, тим простіше підрахувати ймовірність її випадання. За цією логікою виходить, що найважче завдання є підрахунок кількості п'ятикарткових комбінацій, що містять пару. Так, для цього доведеться скористатися спеціальними формулами із комбінаторики. Але складніше підрахувати кількість порожніх комбінацій у покері, тобто. "немає гри".
Тепер я пропоную останній раз «на пальцях» порахувати кількість комбінацій Флеш-Стріт, після чого ми перейдемо до формул, і обчислення решти комбінацій піде швидше.
Наймолодший Флеш-Стріт закінчується П'ятіркою. Найстарший – Королем. Разом: число комбінацій Флеш-Стріт однієї певної масті є 9. Дев'ять множимо на чотири масті і маємо36 - кількість комбінацій Флеш-Стріт.
Цифри 4, 36, 624 ще знадобляться нам при наступних обчисленнях. А зараз я хочу представити вам дуже потужні і в той же час формули комбінаторики, що легко запам'ятовуються, майже на всі випадки життя.
Формула перша Кількість перестановок у складі n дорівнює n! (n факторіал).
Нагадаю, що факторіал це дія, при якому число n, що піддається цій дії, потрібно помножити на (n-1), потім помножити на (n-2) і так далі до одиниці.
Приклад 3! = 3 * 2 * 1 = 6. Практичне застосування: Трьох різних за зростанням людей можна побудувати в ряд шістьма способами. Або: Комплексний обід із трьох страв можна з'їсти шістьма різними способами, змінюючи черговість.
Формула друга та остання. Кількість поєднань із числа n по m. Записувати можна так Cn m.
Ця формула не тільки ідеально підходить для обчислення кількості комбінацій у покері, але й корисна для вирішення інших практичних завдань. Варто лише зрозуміти, як і за яких умов її застосовувати.
Наступна після Каре (за простотою підрахунку кількості) це комбінація Флеш. Знаходження кількості комбінацій Флеш буде добрим прикладом застосування формули числа поєднань з n по m. Потрібно обчислити - скільки різних 5-ти карткових комбінацій Флеш можна скласти з 13 карток однієї масті? Застосуємо формулу кількості поєднань. Числом n тут буде 13 - число карт однієї масті, а числом m буде 5 - необхідно карт для складання Флеша.
1287 п'ятикарткових комбінацій окремої масті. Помножуючи на чотири, за кількістю мастей, повчаємо 5148. Тепер, віднімаючи з цього числа 4 Роял-Флеша та 36 Флеш-Стрітов, отримаємо вірну цифру5108 – це кількість різних флешових п'ятикарткових комбінацій.
Роял-Флеш 4 Флеш-Стріт 36 Каре 624 Фул-Хаус? Флеш 5108
Пропустили Фул-Хаус, вважаємо. Цяпокерна комбінація складається з трьох карт одного рангу та двох карт іншого рангу. Візьмемо до рук чотири карти однієї гідності. Відкидаючи одну картку можна отримати три карти одного рангу чотирма способами.
Перевіряємо, використовуючи ту саму формулу Cn m .
А отримати з чотирьох карт одного рангу дві парні карти можна шістьма способами:
C4 2 = 4!/2! * (4-2)! = 6 (кількість варіантів парних карт одного рангу)
Розглядаючи приватний приклад, візьмемо до рук три Тузи. Щоб отримати Фул-Хаус, необхідно додати до цих карт будь-яку пару. Усього пар у колоді 6*12 (12 це кількість вільних рангів від 2 до Короля). 6 – це число варіантів парних карт одного рангу. Разом: 4 * 6 * 12 = 288 різних Фул-Хаусов включають три Туза. Де 4-це число способів отримати три карти одного рангу. Помножуючи цю кількість на кількість рангів 13, отримаємо3744 – число Фул-Хаусів у покерній колоді.
Далі займемося найпопулярнішою покер-комбінацією – Стріт. Вона справді є народною. Існування маси покерних термінів пов'язаних зі Стрітом або з його можливою появою доводить це. Маю на увазі двосторонку, дірявий стріт та інші поняття покеру.
Щоб рухатися від простого до складного, розглянемо комбінацію Флеш-Стріт від 2 до 6. Тепер, поміняємо Двійку на Двійку іншої масті, створюючи з Флеш-Стріт простий Стріт. Щоб отримувати все нові й нові стрити, нам достатньо лише міняти масті стритоутворюючих карт, залишаючи їх ранг незмінним. В даному випадку ми можемо послідовно змінювати масті у п'яти карт – Двійки, Трійки, Четвірки, П'ятірки та Шістки:
Поміняли масть однієї з цих карток - отримали НОВИЙ Стріт.
Вдавшись до такого перебору, можна точно підрахувати кількість Стритів, що починаються з Двійки.
Математичноцей процес перебору можна записати так: 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024. У ролі молодшої карти Стріта можуть виступати десять карт від Туза до Десятки. Помножуючи 1024 (це кількість стрітів із заданою молодшою картою) на 10 можливих таких молодших карток отримуємо 1024*10 = 10240. У цю цифру увійшли також усі Флеш-Стрити та Роял-Флеші.
Разом: точнекількість всіх можливих Стрітів в покері є 10240 - (36+4) = 10200.
Роял-Флеш 4 Флеш-Стріт 36 Каре 624 Фул-Хаус 3744 Флеш 5108 Стріт 10200 Трійка? Дві пари? Пара? Туз-Король?
Якщо вам зрозумілий принцип підрахунку числа Фул-Хаусов, то ви легко зрозумієте процедуру підрахунку числа п'ятикарткових комбінацій Трійка. Почнемо:
Ми пам'ятаємо, що кількість способів отримати три різні карти одного рангу -
C4 3 = 4!/3! * (4-3)! = 4 (число перше)
Тепер, щоб скласти п'ятикарткову комбінацію Трійка, нам необхідні ще дві довільні карти з колоди, що залишилася. Цих карт 48. Знову застосовуємо формулу кількості поєднань із числа n по m.
Нам потрібно знати, скільки різних варіантів із 2-х карток можна «витягнути» з 48 карток.
n = 48; m = 2 маємо:
C48 2 = 48!/2! * (48-2)! = 1128 (число друге)
Для тих, хто не знає, що у обчисленні C48 2 калькулятор не допоможе, тому що значення факторіалу 48 містить занадто багато розрядів скажу, що шляхом простого скорочення дробу цей вираз наводиться до вигляду 48*47/2. Калькулятор знадобиться тільки щоб порахувати твір 48*47 і поділити на 2.
Чим менше m, тим до більш простого вигляду можна привести отриманий вираз, це надає цій формулі ще одну перевагу - те, що в багатьох практичних випадках вам і калькулятор не знадобиться.
Щоб підрахувати кількістьп'ятикарткових комбінацій Трійка одного певного рангу потрібно помножити (число перше) на (число друге), рахуємо.
Далі, це число множимо на 13 (кількість рангів карток) 4512*13 = 58656.
Залишилося відняти від цього кількість Фул-Хаусов 3744.
Кількість п'ятикарткових комбінацій Трійка дорівнює 54912.
Займемося комбінацією Дві пари.
Пам'ятаємо, що отримати з чотирьох карт одного рангу дві парні карти можна шістьма способами:
C4 2 = 4!/2! * (4-2)! = 6 (кількість варіантів парних карт одного рангу)
Перша пара може бути будь-яким із шести кожного рангу. Тому всього пар із цілої колоди можна витягнути 6*13 = 78.
Тепер додаємо до першої пари другу. Друга пара може бути будь-якою з дванадцяти рангів карт 6*12 = 72. Твір 78*72 є число можливих чотирикарткових комбінацій Дві пари.
До числа 5616 входять комбінації, що повторюються, такі як два Туза у складі першої пари, і комбінації, що мають два туза у складі другої пари. Очевидно, що названі комбінації є однаковими, тобто кожній чотирикартковій комбінації АА99 відповідає комбінація близнюк 99АА. Щоб отримати справжню кількість чотирикарткових комбінацій Дві пари, розділимо знайдене число на два.
П'ята карта комбінацій Дві пари може бути будь-якою, крім карток, що беруть участь в утворенні основної комбінації.
Тобто будь-який із сорока чотирьох (52-4-4 = 44).
Помножуючи число можливих чотирикарткових комбінацій Дві пари на 44 отримаємо123552 - число можливих п'ятикарткових комбінацій Дві пари.
Тепер, вміючи багато, займемося підрахунком кількості п'ятикарткових комбінацій, що містять Пару.
Усього пар у колоді: 6*13 = 78.
Знаходимо, скільки різних варіантів з 3-х карток можна"витягнути" з 48 карт.
n = 48; m = 3 маємо: C48 3 = 48!/3! * (48-3)! = 48 * 47 * 46 / 3 * 2 * 1 = 17296
Вибираючи з 48 карт по 3, ми не враховували можливі збіги їхніх рангів. Тому з отриманого числа 1349088 необхідно відняти кількість Фул-Хаус 3744, а також подвоєне число комбінацій дві пари 123552 * 2 = 247104.
1349088-3744-247104 = 1098240 – число п'ятикарткових комбінацій, що містять Пару.
Роял-Флеш 4 Флеш-Стріт 36 Каре 624 Фул-Хаус 3744 Флеш 5108 Стріт 10200 Трійка 54912 Дві пари 123552 2
Давайте оцінимо можливість приходу покерних комбінацій з роздачі. Як відомо, ймовірність це ставлення числа сприятливих наслідків до загальної кількості можливих наслідків. Кількість можливих наслідків у нашому випадку це скільки всього варіантів п'ятикарткових рук можна скласти з 52 карт.
Останній раз застосуємо та закріпимо універсальну формулу:
C52 5 = 52!/5! * (52-5)! = 52 * 51 * 50 * 49 * 48 / 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 2598960
Усього варіантів п'ятикарткових рук 2598960.
Отже, ймовірність приходу Роял-Флеш дорівнює: 4/2598960 = 0,00000154 (у відсотках 0,000154).
Аналогічно вважаємо задля інших комбінацій. Отримані дані заносимо до таблиці 1.
Вірогідності утворення комбінацій з роздачі в оазис покеру. Таблиця 1.
| Роял-Флеш | 4 | 0,0000015 | 0,00015 |
| Флеш-Стріт | 36 | 0,0000139 | 0,0014 |
| Каре | 624 | 0,0002401 | 0,02 |
| Фул-Хаус | 3744 | 0,0014406 | 0,14 |
| Флеш | 5108 | 0,0019654 | 0,20 |
| Стріт | 10200 | 0,0039246 | 0,39 |
| Трійка | 54912 | 0,0211285 | 2,11 |
| Дві пари | 123552 | 0,0475390 | 4,75 |
| Пара | 1098240 | 0,4225690 | 42,26 |
| Усього комбінацій | 2598960 |
Усі обчислення проводилися для комбінацій, отриманих з роздачі. Імовірності виникнення комбінацій на боксі протягом гри залежать від правил обміну, стилю гри та стратегії гравця.