Кція частково когерентного випромінювання на отворі
Розглянемо випадок, що порівняно часто зустрічається на практиці - падаюче випромінювання є частково когерентним. Припустимо, що частково когерентна квазімонохроматична хвиля падає на непрозорий екран з отвором. Отвір можна описати амплітудною функцією пропускання виду
в решті області 1 , на поверхні t , яка, в загальному випадку, є комплексною.
Необхідно знайти розподіл інтенсивності у площині екрана, розташованого на відстані z паралельно площині отвору.
Враховуючи загальне співвідношення між взаємною інтенсивністю падаючої хвилі та минулою
де Ji , Jt − відповідно взаємна інтенсивність падаючої та минулої хвиль, розглянемо розподіл інтенсивності у сфері спостереження, вважаючи, що розмір отвору та області спостереження набагато менше відстані від площини отвору до площини спостереження.
Замінимо амплітудну функцію пропускання tА отвори функцією "зіниці" Ρ(ξ,η), яку для спільності ми вважаємо комплексною та отримаємо наступне вираження
Спростимо цей вислів, зробивши припущення, що функція взаємної інтенсивності може бути представлена у формі
де γi – комплексний коефіцієнт когерентності. Дане наближення справедливе, наприклад, у схемі, де світло некогерентного джерела досягає отвору, проходячи через конденсорну систему.
У параксіальному наближенні можна скористатися таким виразом
Тут використані позначення
Запишемо вираз для інтенсивності
Припустимо, що z не менше геометричного середнього з відстаней до області далекого поля при відповідних розмірах отвору і площі когерентності:
Цедозволяє нам опустити перший експоненційний множник, що призводить до наступного виразу
де R - автокореляційна функція комплексної функції зіниці P, яка за визначенням дорівнює:
.
Таким чином, розподіл інтенсивності I(x,y) у дифракційній картині можна знайти, виконавши двовимірне перетворення Фур'є добутку функцій R і γi.
Розглянемо тепер докладніше умови, накладені видалення області спостереження залежно від області розгляду площині об'єкта дифракції
По-перше, можна показати, що необхідність накладання цієї умови відпадає, якщо в контакті з площиною отвору знаходиться лінза, що збирає, з фокусною відстанню f = z. Якщо лінза відсутня, то цим умовам задовольнити набагато важче, оскільки тут не зроблено припущення, що площа когерентності набагато менша за площу джерела.
По друге, якщо D - максимальний лінійний розмір отвору, а dc - максимальний лінійний розмір області когерентності на апертурі, необхідні умови будуть виконуватися, коли
.
Умова z > 2D 2 /λ ідентично умові дифракції Фраунгофера. Ця умова накладається, якщо випромінювання, що падає на отвір, наближається до повністю когерентного.
Фізичний зміст цієї теореми найкраще усвідомити, розглядаючи граничні випадки.
1. Нехай отвір висвітлюється плоскою хвилею, що падає нормально (таке освітлення повністю когерентним). Отже, комплексний коефіцієнт когерентності γi дорівнює 1 і ми отримуємо
Результат, одержуваний на підставі даної теореми, повинен повністю відповідати результату, що отримується відповідно до дифракційної формули Фраунгофера для інтенсивності
2. Нехай падаюче випромінювання має площукогерентності набагато меншу ніж розмір отвору. У цьому випадку автокореляційна функція R в межах усієї апертури (в межах усієї області значень (Δξ,Δη), для яких γi ≠ 0) має приблизно постійне значення, що дорівнює площі отвору.
Отже, у другому випадку, форма спостерігається дифракційної картини розподілу інтенсивності визначається, в основному, комплексним коефіцієнтом когерентності γi і практично не залежить від форми отвору за умови, що D > dс. У проміжних випадках розподіл інтенсивності I(x,y) визначається згорткою Фур'є-образів величин R та γi.
І тут відбувається " згладжування " дифракційної картини в міру поступового зменшення площі когерентності.
Мал. 6.8. Картина дифракції на круглому отворі. Параметр С – відношення площі круглого отвору до площі когерентності
Мал. 6.9. Приклади розподілу амплітуди поля для одновимірного випадку та вид автокореляційної функції зіниці
Як випливає з наведеного вище малюнка, автокореляційна функція зіниці істотно залежить від виду розподілу поля.