Операції над безліччю - Студопедія

Для візуалізації відносин між множинами та операцій над множинами зазвичай використовуються діаграми Ейлера-Венна, на яких представлені результати операцій над множинами точок як над геометричними фігурами на площині. Універсальна множина зазвичай позначають графічно у вигляді множини точок прямокутника, а окремі множини у вигляді окремих областей (кіл або овалів) усередині цього прямокутника.

Визначення 1: Об'єднанням (або сумою) двох множинАіВназивається нове безліч, що складається з елементів, кожен з яких належить хоча б одному з цих множин, тобто абоА, абоВ:

За аналогією з алгеброю чисел об'єднання іноді називають сумою множин, оскільки операція об'єднання множин має багато властивостей операції складання чисел.

Визначення 2: Перетином (або твором) двох множинАіВназивається нове безліч, що складається з елементів, кожен з яких належить обом цим множинам, тобто іА, іВ:

За аналогією з алгеброю чисел перетин іноді називають добутком множин, так як операція перетину множин має багато властивостей операції множення чисел.

Визначення 3: Різницею двох множинАіВназивається нова множина, що складається з елементів, кожен з яких належить множиніА, але не належить множиніВ:

БезлічА\Вназивається також доповненням множиниВщодо множиниА.

Визначення4: ЯкщоU– універсальна множина іАÌU, то різницяU\Aназивається доповненням множиниАдо множиниU, або просто доповненням множиниАі позначаєтьсяĀ:

Визначення 5: Симетричною різницею двох множинАіВназивається нове безліч, що позначаєтьсяАDВі що складається з тих і тільки з тих елементів, які належатьА\ВабоВ\А:

Виписати всі підмножини триелементної множиниМ=а,b,c>.

Визначення 6: Алгебра множин - це непуста система підмножин (деякого безлічіU),замкнена щодо операцій об'єднання , перетину, доповнення та симетричної різниці.

Наприклад, алгебра натуральних чисел незамкнута щодо віднімання.

У теорії алгебри множин множини іUграють таку ж роль, що і числа 0 і 1 в теорії алгебри чисел.

Основні властивості алгебри множин:

Закон	Об'єднання È	Перетин Ç	Різниця \	Симетрична різниця D
Комутативність (переміщувальний)	АÈВ=ВÈА	АÇВ=ВÇА	¾	АDВ=ВDА
Асоціативність (сполучний)	(АÈВ)ÈС=АÈ(ВÈС)	(АÇВ)ÇС=АÇ(ВÇС)	¾	(ADB)DC=AD(BDC)
Дистрибутивність (розподільний)	(АÇВ)ÈС=(АÇС)È(ВÇС)	(АÈВ)ÇС=(АÈС)Ç(ВÈС)	¾	¾
Дистрибутивність (розподільний)	(А\В)ÈС=(А\С)È(В\С)	(А\В)ÇС=(А\С)Ç(В\С)	¾	¾
Поглинання	(АÇВ)ІА=А	(АÈВ)ÇА=А	¾	¾
Склеювання (виключення)	(АÇВ)È(AÇВ)=В	(АÈВ)Ç(ĀÈВ)=В	¾	¾
Ідемопотентність (відсутність показників ступеня)	АÈА=А	АÇА=А	А\А=Æ	АDА=Æ
Винятки третього та протиріччя	АÈĀ=U	АÇĀ=Æ	А\A=А	АDA=U
¾	¾	A\А=A	¾
закони, що пов'язують порожню та універсальну множини	АÈÆ=А	АÇÆ=Æ	А\Æ=А	АDÆ=А
¾	¾	Æ\А=Æ	¾
АÈU=U	АÇU=А	А\U=Æ	АDU=A
¾	¾	U\А=Ā	¾
UÈÆ=U	UÇÆ=Æ	U\Æ=U	UDÆ=U
¾	¾	Æ\U=Æ	¾
Закони де Моргана
¾	¾
Інвальтивність (подвійне заперечення)	¾	¾		¾

Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:

Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно

---