Опис експериментальної установки
Маятник Обербека показаний малюнку 1.1. Він складається з барабана, який може обертатися навколо своєї осіO, та чотирьох стрижнів, скріплених з ним. На кожен стрижень одягнена приважка, яку можна переміщати вздовж стрижня і фіксувати за допомогою стопорного гвинта в будь-якому положенні стрижня. Усі чотири наважки (на малюнку вони позначені цифрами 1, 2, 3, 4) – однакові, і в даній лабораторній роботі вони встановлюються на тій самій відстані від осі обертання валаO. При цьому маятник називається симетричним.
Барабан за допомогою двох підшипників укріплений на нерухомому горизонтальному валу, який, у свою чергу, кріпиться на вертикальній стійці (стійка на малюнку 1.1 не показана), тому вісь обертання барабанаOє фіксованою (закріпленою). Стійка за допомогою гвинтів кріплення встановлюється на краю лабораторного столу. На барабан намотана нитка, вільний кінець якої з'єднаний з вантажем масоюm. Під дією сили тяжіння вантаж опускається вниз (на підлогу), нитка натягується і обертає маятник.
Коротка теорія
У загальному випадку основний закон динаміки обертального руху стверджує, що швидкість зміни моменту імпульсу системиLдорівнює сумі моментів зовнішніх силМ, що діють на систему 8 .
. (2.1)
Якщо система – це тверде тіло, яке може обертатися навколо нерухомої осі, то закон (2.1) записують в іншому вигляді:
, (2.2)
де– кутове прискорення тіла,I– момент інерції тіла щодо його осі обертання 9 . У цьому виді основний закон динаміки обертального руху аналогічний другому закону Ньютона, і він означає, що кутове прискорення тілу створюють моменти зовнішніх сил, що діють на нього. Маятник Обербека якраз і є твердим тілом із закріпленою віссю обертання, тому йому справедливий закон (2.2). Завданням даної лабораторної роботи є експериментальна перевірка цього закону, а саме: необхідно експериментально підтвердити, що величина кутового прискорення маятника Обербекапропорційнавеличині сумарного моментуMзовнішніх сил, що діють на маятник. Дослідженню залежності кутового прискорення маятника від його моменту інерціїIприсвячено іншу лабораторну роботу 10 .
Для виконання поставленої задачі необхідно передусім визначити спосіб вимірювання величиніM.
Вимірювання кутового прискорення
Обертальний рух маятника пов'язаний з поступальним рухом вантажу. Це виявляється у тому, що у будь-який час частота обертання маятника (кутова швидкість) однозначно пов'язана зі швидкістю опускання вантажу𝑣:
, (2.3)
деR- радіус барабана. Диференціювання цього рівняння за часом дає:
. (2.4)
Оскільки за визначенням – це кутове прискорення, а– це прискоренняaпоступального руху вантажу 11 , то (2.4) випливає:
. (2.5)
Таким чином, для вимірювання кутового прискоренняможна виміряти прискорення руху вантажуaі радіус барабана, а потім скористатися формулою (2.5). Радіус барабана можна виміряти прямим способом – за допомогою штангенциркуля. А вимір прискорення вантажу можна зробити непрямим способом виходячи з двох наступних фактів. По-перше, експерименти, які проводяться з маятником Обербека у навчальній лабораторії, свідчать, що рух вантажу – рівноприскорений, тобто. По-друге, одне з рівнянь кінематики рівноприскореного руху має вигляд:
, (2.6)
деS- це довжина шляху,пройденого тілом за часt. Якщо виміряти висотуh, з якої вантаж починає рух, і часt, протягом якого вантаж падає на лабораторний стіл, то застосування формули (2.6) дає:
. (2.7)
Вимір сумарного моменту зовнішніх силM
На маятник діють три сили. Перша з них – сила натягу ниткиT1, яка прагне розкрутити барабан за годинниковою стрілкою і, отже, створює моментM1, спрямований по осі обертання убік від спостерігача. Цей момент показаний хрестиком малюнку 1.1. Друга сила – сила тертя у підшипниках барабана. Ця сила перешкоджає обертанню маятника, отже, її моментMнаправлений проти моментуM1. На малюнку 1.1 напрямок моменту силиMпоказано точкою. Третя сила - сила опору повітря, що діє на стрижні, що обертаються. Цю силу, однак, можна не враховувати з таких міркувань. Сила опору повітря залежить від швидкості обертання маятника. Оскільки маятник з початкового стану спокою розганяється, його швидкість обертання збільшується, у результаті збільшується сила опору повітря та її моментMc. Але тоді з основного закону обертального руху (2.2) випливає, що має змінюватись і кутове прискорення маятника. Однак вище вказувалося, що вантаж рухається рівноприскорено, так що, згідно з формулою (2.5),. Пояснення цьому таке: маятник за час падіння вантажу на лабораторний стіл не встигає набрати такої швидкості обертання, коли сила опору повітря починає на його рух помітний вплив і змінювати кутове прискорення. Ось і виходить, що цією силою можна знехтувати. Отже,
, (2.8)
Перейдемо від векторів до чисел. Для цього запишемо рівняння (2.8) у проекціях на вісь,спрямовану по осі обертання, причому убік від спостерігача.
, (2.9)
Як виміряти значення моменту сили тертяMт, поки не зрозуміло. Момент сили натягуM1 можна дізнатися. За визначенням він дорівнює добутку сили натягуT1на її плече, що дорівнює радіусу барабанаR.
. (2.10)
Силу натягуT1можна визначити, виходячи з того, що вона дорівнює силіT2, яка діє з боку тієї ж нитки на вантаж. А для знаходження силиT2 треба розглянути рух вантажу. Цей рух підпорядковується основному закону динаміки поступального руху, тобто другому закону Ньютона, згідно з яким сили, що діють на вантаж, надають йому прискоренняa.
, (2.11)
деF- сума діючих сил,m- маса вантажу. На вантаж діють три сили, показані малюнку 2.1. Перша їх – сила тяжкості, спрямована вертикально вниз. Друга – сила натягу ниткиT2, спрямована вертикально вгору. Третя сила – сила опору повітря, спрямована проти швидкості руху, тобто вертикально вгору. Цю силу можна не враховувати з тих же міркувань, з яких не враховується сила опору повітря, що діє на стрижні маятника, що обертаються. Отже,
+. (2.12)
Для переходу від векторів до числа запишемо рівняння (2.12) у проекціях на вертикальну вісь, спрямовану вниз. При цьому врахуємо, що вантаж рухається і розганяється вниз, тому його прискорення теж спрямоване вниз.
. (2.13)
Як виміряти прискорення вантажу, зазначено вище, тому формула (2.13) задає спосіб вимірювання сили натягу ниткиT2і рівної їй силиT1:
. (2.14)
Підстановка (2.14) у (2.10) дає:
. (2.15)
Незважаючи на те, що момент сили тертя M т невідомий,вимірювання кутового прискорення та моменту сили натягу ниткиM1вже дає інформацію, що дозволяє експериментально переконатися в тому, як моменти весняних сил впливають на кутове прискорення маятника. Справді, підставивши (2.9) у (2.2), отримаємо:
, (2.16)
Згідно з цією формулою, кутове прискорення маятникалінійнозалежить від моменту сили натягуM1. І цей факт можна перевірити експериментально. Лінійність залежностівідM1 означає, що на графіку ця залежність виглядає у виглядіпрямоїлінії. Отже, треба провести серію експериментів з маятником Обербека при різних значеннях моменту сили натягу ниткиM1, вимірюючи щоразуіM1. Змінювати значенняM1можна,змінюючи масу вантажуm. Потім на підставі виміряних значеньM1ітреба побудувати графік залежностівідM1. Якщо експериментальні точки на графіці вишикуються вздовж прямої лінії 12 то це буде підтвердженням формули (2.16), а отже, і підтвердженням основного закону динаміки обертального руху (2.2).
Якщо через експериментальні точки вдасться провести пряму лінію, це не тільки підтвердить основний закон динаміки обертального руху, а й дозволить отримати додаткову інформацію: виміряти момент сили тертя в підшипнику барабанаMти момент інерції маятникаI. По-перше, з (2.16) випливає, що = 0 при. Це означає, що експериментальна пряма на графіку повинна перетнути вісь абсцис 13 у точці, так що точка перетину дає значення моменту сили тертя в підшипнику барабанаMт. По-друге, стандартна форма запису лінійної залежностіy(x) має вигляд:
, (2.17)
де числоkназивається кутовим коефіцієнтом, а числоb- вільним членом. Порівняння(2.16) і (2.17) показує, що кутовий коефіцієнт лінійної залежності дорівнює
. (2.18)
Тому, якщо виміряти кутовий коефіцієнт, то (2.18) випливає формула, яку можна використовувати для вимірювання моменту інерції маятника Обербека:
. (2.19)