Origin_manual - Стор 7
Обробіть дані комп'ютерного експерименту з визначення порога перколяції деякої системи.
Вільні граничні умови
1. Побудуйте графік залежності p c (L) як функції L ν ( ν = 0,875) із зазначенням на графіку величини похибки для системи з вільними граничними умовами.
2. Проведіть апроксимацію даних за методом найменших квадратів, використовуючи похибки як ваги.
3. Визначте поріг перколяції в термодинамічній межі як точку перетину графіка з віссю ординат. Необхідне значення візьміть із протоколу результатів.
4. Додайте на графік другий шар.
5. На другому шарі побудуйте графік залежності p c (L) як функції
L ν ( ν = 0,875 ) із зазначенням на графіку величини похибки для системи з періодичними граничними умовами.
6. Проведіть апроксимацію даних за методом найменших квадратів, використовуючи похибки як ваги.
7. Визначте поріг перколяції в термодинамічній межі як точку перетину графіка з віссю ординат. Необхідне значення візьміть із протоколу результатів.
8. Результати обробки порівняйте з наведеними нижче протоколами.
9. Оформіть графік так, як показано на рис. 1.
Weight given by svobodn_D error bars.
Parameter Value Error
Ісакова О.П., Тарасевич Ю.Ю., 2007
0,99942 0,16994 3 0,02175
Weight given by period_D error bars.
Parameter Value Error
0,05729 3 0,00354
вільні граничні умови: p c = 0,2555 ± 0,0002
періодичні граничні умови: p c
Ісакова О.П., Тарасевич Ю.Ю., 2007
Метод найменших квадратів
Найбільш поширеним методом апроксимації експериментальнихданих є метод найменших квадратів. У методі найменших квадратів вимагають, щоб сума квадратів відхилень від апроксимуючої функції до експериментальних точок була мінімальною.
ної: Φ = ∑ ( f (x i ) − y i ) 2 → min . Тут < x i , y i – координати експеримен-
тальних точок, f (x) - апроксимуюча функція, n - число експери-
Таким чином, не потрібно, щоб апроксимуюча функція проходила через усі задані точки, як у разі інтерполяції, що особливо важливо при апроксимації даних, що свідомо містять похибки.
Важливою особливістю методу є те, що апроксимуючий функція може бути довільною. Її вид визначається особливостями розв'язуваної задачі, наприклад, фізичними міркуваннями, якщо проводиться апроксимація результатів фізичного експерименту.
Найпростішим варіантом методу найменших квадратів є апроксимація прямою лінією. Крім того, часто буває можливо шляхом заміни змінних звести завдання до лінійної (провести лінеаризацію).
Якщо точність визначення експериментальних даних різна щодо різних точок, можна використовувати похибки як терезів, тобто. вимагати, щоб апроксимуюча функція проходила якомога ближче до експериментальних точок з малою похибкою вимірювання і не надто далеко від точок з високою похибкою виміру.
У випадку для знаходження апроксимуючої функції методом найменших квадратів потрібно вирішити завдання нелінійної оптимізації. Однак у разі апроксимації прямою лінією усі викладки можна провести вручну та отримати формули для коефіцієнтів прямої.
Шукатимемо апроксимуючу функцію у вигляді полінома першого ступеня: f(x) = ax + b . Завдання полягає у визначенні невідомих коеф-
фіцієнтів a та b.Таким чином, ми шукаємо такі значення параметрів a та
b, при яких функція Φ(a,b) = ∑ ( ax i + b − y i ) 2 буде мінімальною. Як
Ісакова О.П., Тарасевич Ю.Ю., 2007
= 2 ∑ ( ax i + b − y i ) x i = 0
+ b − y i) = 0 . Звідси отримуємо систему лінійних рівнянь
a ∑ x i 2 + b ∑ x i =
Вирішуючи отриману систему, знаходимо значення коефіцієнтів пря-
n ∑ x i y i − ∑ x i ∑ y i
∑ x i 2 ∑ y i − ∑ x i ∑ x i y i
Аналогічно можна отримати формули для випадку, коли різні експериментальні точки входять із різними вагами. Як вага зазвичай використовують величину зворотну дисперсії. Для довільної апроксимуючої функції знаходження невідомих коефіцієнтів є досить складним завданням і, як правило, проводиться на комп'ютері.
Насправді часто зустрічається ситуація, коли деякий сигнал накладається шум. Виникає завдання відокремлення сигналу від шуму. Це завдання можна вирішити за допомогою
З основною ідеєю познайомимося на найпростішому прикладі. Нехай є основний сигнал signal(t) = sin2 π t на який
накладається випадковий шум noise(t) , що змінюється в діапазоні [-
0,5;0.5] Проведемо чисельне перетворення Фур'є сумарного сигналу
f(t) = signal(t) + noise(t). Вважатимемо, що функція f(t) відома на
Ісакова О.П., Тарасевич Ю.Ю., 2007
проміжку 0 ≤ t … N −1. Тоді функцію f(t) можна приблизно представити у ві-
є частотами гар-
монік, що формують складний сигнал; комплексні коефіцієнти cl –
амплітуди цих гармонік.
У спектрі є тільки одна частота з великою амплітудою, яка відповідає сигналу, і безліч гармонік з малою амплітудою, що відповідають шуму (рис. 2).
Мал. 2 Спектральний склад сигналу
Проведемо зворотне перетворення Фур'є, відкинувши всі гармоніки, що мають амплітуду не більше 0,4. (Поріг у кожному конкретному випадку залежить від істоти задачі, що розв'язується.) В результаті буде отримана функція, що не містила шуму (рис. 3).
Рис.3 Результат зашумленого сигналу
Ісакова О.П., Тарасевич Ю.Ю., 2007
Елементарні відомості з теорії перколяції
Слово "перколяція" (percolation - англ.) означає протікання. Назва виникла у зв'язку з тим, що ряд перших робіт у цьому напрямку був присвячений процесам протікання рідин або газів через пористе середовище. До цього часу ця тематика займає істотну частину у роботах з теорії перколяції.
Теорія перколяції займається вивченням властивостей невпорядкованих систем. Її цікавить утворення пов'язаних об'єктів усередині невпорядкованого середовища.
Перколяція є критичним явищем. Це чисто геометричний фазовий перехід, тісно пов'язаний із звичайними фазовими переходами другого порядку. Теорія перколяції є дуже простим, але універсальним, потужним та корисним інструментом. Теорія привертає увагу дослідників (математиків, програмістів, фізиків, інженерів) з різних причин від суто теоретичних до прикладних, оскільки успішно застосовується на вирішення кола завдань у різноманітних областях. Вона дозволяє описати процеси найрізноманітнішої природи, коли при плавній зміні одного з параметрів системи (концентрації че-властивості системи змінюються стрибком. Теорія перокляції використовується для опису фазових переходівпарамагнетик-феромагнетик, процесів полімеризації, для моделювання процесу поширення епідемій і т.д.
Нехай деяка система заповнюється випадковим чином об'єктами із заданоюконцентрацією. Об'єкти можуть зв'язуватися один з одним, утворюючи кластер (cluster – англ. – гроно). За певної концентрації об'єктів можлива поява кластера, що пронизує всю систему. У разі такого кластера властивості системи змінюються, відбувається фазовий перехід.
Один із можливих типів перколяційних завдань і водночас найчастіше використовуваний і найпростіший – перколяція вузлів. Загалом перколяція вузлів визначається на гратах (графі) у просторі, де кожен вузол (вершина) може бути зайнятий з ймовірністю p або вільний
з ймовірністю 1-p. Сусідні ґрати утворюють кластер. Якщо
кластер настільки великий, що досягає протилежних сторін системи, він називається перколяційним. Очевидно, що для грат кінцевого розміру перколяційні кластери можуть виникати при різних концентраціях. Однак у термодинамічній межі, якщо розмір системи спрямувати до нескінченності, критична концентрація стане цілком певною. Це суворо підтверджено. Таку критичну концентрацію називають поріг перколяції.
Ісакова О.П., Тарасевич Ю.Ю., 2007
Граткові моделі в першу чергу становлять інтерес з теоретичної точки зору, саме для них доведено низку суворих тверджень і співвідношень. На цей час процеси протікання на ґратах вивчені і зрозумілі досить добре.
На відміну від теорії температурних фазових переходів, де перехід між двома фазами відбувається за критичної температури, перколяційний перехід є геометричним фазовим переходом. Поріг перколяції або критична концентрація поділяє дві фази: в одній фазі є лише кластери кінцевого розміру, в іншій існує один нескінченний кластер. Таким чином, у перколяції концентрація зайнятих вузлів відіграє ту ж роль,як і температура в температурних фазових переходах. Імовірність, що вузол належить нескінченному кластеру, аналогічна параметру порядку теорії температурних фазових переходів.
Більшість результатів теорії перколяції отримано внаслідок комп'ютерного моделювання. Якщо побудувати залежність ймовірності виникнення перколяційного кластера в даній системі P(p) від концен-
трації зайнятих вузлів, то точка, що відповідає ймовірності 50%, є оцінкою порога перколяції p c (L) для системи даного розміру L.
Отримане при моделюванні значення порога має бути екстраполировано на випадок термодинамічної межі за допомогою скейлінгово-
го співвідношення p c ( L ) - p c ( ∞ ) L ν , де ν - універсальний критичний показник, що залежить тільки від розмірності простору.