Особлива точка крива

Особлива точкакривою — точка, в околиці якої немає гладкої параметризації. Точне визначення залежить від типу кривої, що вивчається.

Зміст

Особливі точки кривої- це ті точки кривої, в яких обидві похідні звертаються в нуль:

Регулярні точки

Нехай крива проходить через початок координат. Поклавши y = m x можна представити f у вигляді

Подвійні точки

Подвійні точки можна класифікувати за корінням рівняння c 1 + 2 c 2 m + c 3 m 2 = 0 +2c_m+c_m^=0> .

Крапки самоперетину

Ізольовані точки

Якщо рівняння c1+2c2m+c3m2=0+2c_m+c_m^=0> немає речових рішень по m , тобто, якщо c 2 2 − c 1 c 3 0 ^-c_c_ , то початок координат називаєтьсяізольованою точкою. На речовій площині початок координат виявиться ізольованим від кривої, проте на комплексній площині початок координат ізольований не буде і матиме дві уявні дотичні, що відповідають двом уявним рішенням рівняння. =0> . Функція f у разі має локальний екстремум на початку координат.

Якщо рівняння c1+2c2m+c3m2=0+2c_m+c_m^=0> має одне речове рішення по m кратності 2, тобто якщо c 2 2 − c 1 c 3 = 0 ^-c_c_=0> , то початок координат називаєтьсякаспом, аботочкою повернення. Крива в цьому випадку в особливій точці змінює напрямок, утворюючи вістря. Крива на початку координат має єдину дотичну, що можна трактувати як дві дотичні, що збігаються.

Подальша класифікація

Термінвузол(англ. node) використовується як загальна назва для ізольованих точок і точок самоперетину. Число вузлів та число каспів кривої є двома інваріантами,використовуються у формулах Плюккера.

Багаторазові точки

Параметрична криваR2 визначається як образ функціїg:R→R2 ,g(t) = (g1(t),g2(t)). Особливі точки такої кривої - це точки, в яких

Багато криві можна поставити в обох видах, але ці два завдання не завжди узгоджуються. Наприклад, касп можна знайти як у кривої алгебриx3 −y2 = 0, так і параметричної кривоїg(t) = (t2,t3). Обидва завдання кривої дають особливу точку на початку координат. Однак точка самоперетину [en] кривоїy2 −x3 −x2 = 0 на початку координат є особливою для кривої алгебри, але при параметричному завданніg(t) = (t2 −1,t(t2 −1)) пари похіднихg′(t) ніколи не звертається в нуль, а тому точкане єособливою у вищевказаному сенсі.

Слід бути обережними при виборі параметризації. Наприклад, прямуy= 0 можна задати параметрично якg(t) = (t3 , 0) і вона матиме особливу точку на початку координат. Якщо ж її параметризувати якg(t) = (t, 0), вона матиме особливих точок. Таким чином, технічно коректніше говорити про особливі точки гладкого відображення, а не про особливі точки кривої.

Вищезазначені визначення можна поширити нанеявні криві, які можна визначити як безліч нулівf−1 (0) довільної гладкої функції. Визначення також можна поширити на криві у просторах вищих розмірностей.

Відповідно до теореми Хасслера Уітні, [4] [5] будь-яке замкнуте безліч уRnє безліччю рішеньf−1 (0) для деякоїгладкоїфункціїf:Rn→R. Отже, будь-яка параметрична крива може бути задана як крива неявна.

---