Освоїти методи алгоритмізації та програмування форми подання інтерполяційного полінома

Опис: МЕТА РОБОТИ Освоїти методи алгоритмізації та програмування форми подання інтерполяційного полінома Лагранжа з рівномірним розташуванням вузлів. Вивчити властивості інтерполяційного полінома Лагранжа. Дослідити залежність помилки інтерполювання функції від кількості та розташування вузлів для інтерполяційного полінома Лагранжа.

Дата завантаження: 2014-06-16

Розмір файлу: 265.87 KB

Роботу завантажили: 12 чол.

Якщо ця робота Вам не підійшла внизу сторінки, є список схожих робіт. Також Ви можете скористатися кнопкою пошук

Міністерство освіти та науки України

Севастопольський національний технічний університет

Кафедра Технічної кібернетики

Звіт з лабораторної роботи

«ІНТЕРПОЛЮВАННЯ ФУНКЦІЙ ПОЛІНОМАМИ»

студент групи А-22д

ст. викл. Альчаков В.В.

• Освоїти методи алгоритмізації та програмування форми подання інтерполяційного полінома Лагранжа з рівномірним розташуванням вузлів.
• Вивчити властивості інтерполяційного полінома Лагранжа.
• Дослідити залежність помилки інтерполювання функції від кількості та розташування вузлів для інтерполяційного полінома Лагранжа.

2 КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Інтерполювання - це наближене визначення значень функції f (x) у проміжних точках заданого замкнутого інтервалу x B x x x E зміни її аргументу x за відомими значеннями f (x 1), f (x 2), ..., f (x m). Значення аргументу x i  [ x B , x E ] , i = 1,2 ..., m інтерполюваної функції f ( x ) називаються вузлами інтерполяції.

Інтерполюванняфункції f(x) поліномом означає побудову такого полінома мінімального ступеня Fm(x), який у m вузлах інтерполяції задовольняє умовам:

f (k) (x i) = F m (k) (x i), i = 1,2, ..., m, k = 0,1, ..., mi -1.

Тут f (k) (x i) відомі значення функції f (x) і її похідних k -ого порядку f (k) (x) у вузлах інтерполяції, а m i кратність i -ого вузла. Якщо mi =1, i-тий вузол називається простим.

Інтерполяція функцій f ( x ) поліномом із простими вузлами ( m i =1, i =1,2,…, m ) означає побудову такого полінома мінімального ступеня F m ( x ), який у m вузлах інтерполяції задовольняє умовам:

f ( x i ) = F m ( x i ) , i = 1,2, ..., m .

Інтерполяційний поліном Ньютона може бути представлений у вигляді

F m ( x ) = , де , i ( x ,0) = 1.

Помилка інтерполяції функції f (x) на інтервалі зазвичай оцінюється як максимальне значення на цьому інтервалі абсолютної величини помилки. Оскільки обчислити E ( x ) у всіх точках інтервалу неможливо, то роботі пропонується обчислити її значення у точках

z i = (i -1) · 0,01, i = 1,2, ..., 101

та визначити оцінку помилки інтерполювання функції на заданому інтервалі [0,1], як e = E (z i).

3 ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ

для якої необхідно побудувати інтерполяційний поліном F m (x) у формі Лагранжа

4 СХЕМА РОБОТИ ПРОГРАМИ

5 ТЕКСТ ПРОГРАМИ

const double c1=0;

const double c2=0.5;

const double c3=0.4;

const double c4=-2.47;

const double c5=1.46;

double f(double x)

printf("Введіть кількість вузлів інтерполювання \n");

double Q[m];//масив коефіцієнтів

double t[m];//масив вузлів інтерполювання

printf(" Вузол Точне значення Значенняполінома Помилка\n");

//підрахунок та запам'ятовування в масиві значень коефіцієнтів інтерполяційного полінома Fm(x);

for(j=1;j Коеф 2 ф - ли 5

Q[i]=f(t[i])/Wi; // Коеф 1 ф - ли 5

//обчислення в циклі при Zi=(i-1)·0,01 , i = 1,2,…,101 значень функції, полінома та помилки інтерполювання

for(j=1;j Коеф 2 ф - ли 5

//Таблиця пункту 3.1 із соотв. значенням аргументу, виведення 20 значень (k-1) * 0.05

if ((k-1)%5==0) printf("i=%lf F(i)=%lf Fm(Zi)=%lf E=%lf \n",Z,f(Z),x e);

printf("Оцінка помилки на інтервалі=%lf,у вузлі %lf\n",emax,uz);

6 РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ПРОГРАМИ

Графіки функції f (x), а також графік полінома F m (x). Також представлений графік зміни помилки

Графіки функції f (x), а також графік полінома F m (x). Також представлений графік зміни помилки

Було вивчено метод алгоритмізації та програмування подання інтерполяційного полінома Ньютона з рівномірним розташуванням вузлів інтерполювання, досліджено залежність помилки інтерполювання від числа вузлів m . З залишено програму, що реалізує інтерполювання функцій полінома методом Лагранжа. Зроблено такі висновки:

- для досягнення заданої точності обчислень на інтервалі [0,1] необхідно 20 вузлів інтерполювання;

- Маючи можливість докладного аналізу похибки методу (оскільки задана вихідна функція для обчислення точних значень), були складені графіки похибки методу для різних m (у вузлів), з яких випливає:

1) найменша похибка досягається в точках інтервалу, що знаходяться найближче до вузлів інтерполювання; похибка зростає наближаючись до середини інтервалу між вузлами;

2) найбільша похибкаспостерігаються на інтервалах між вузлами, що лежать на "краях" інтервалу інтерполування [0,1].

---