Ознаки порівняння числових рядів
У першій та другій частинах цієї теми ми почали розбирати приклади застосування ознак порівняння для дослідження питання збіжності позитивних лав. На цій сторінці ми будемо використовувати суто другий ознака порівняння (крім останнього прикладу), або як його ще називають, ознака порівняння в граничній формі. Нагадаю його формулювання:
Друга ознака порівняння
Ряд (2) сходиться якщо $q 0$, це ясно, а ось що щодо арктангенсу? З арктангесом нічого складного: оскільки $\frac> >0$, і $\arctg\frac>>0$. Висновок: наш ряд є позитивним. Застосуємо ознаку порівняння на дослідження питання збіжності цього ряду.
Для початку виберемо ряд, з яким порівнюватимемо. Якщо $n\to\infty$, то $\frac>\to 0$. Отже, $\arctg\frac>\sim\frac>$. Чому так? Якщо подивитися таблицю наприкінці цього документа, ми побачимо формулу $arctg xsim x$ при $xto 0$. Ми цю формулу і використовували тільки в нашому випадку $x=\frac>$.
Замінимо у виразі $\frac>\arctg\frac>$ арктангенс на дріб $\frac>$. Отримаємо наступне: $\frac>\frac>$. З такими дробами ми працювали раніше. Відкидаючи "зайві" елементи, прийдемо до дробу $\frac\cdot\sqrt[3]>=\frac+\frac>=\frac>$. Саме з рядом $\sum\limits_^\frac>$ ми і станемо порівнювати заданий ряд, використовуючи другу ознаку порівняння. Оскільки $\frac≤ 1$, то ряд $\sum\limits_^\frac>$ розходиться.
Оскільки $0 1$, то ряд $\sum\limits_^\frac$ сходиться.
Оскільки $0 0$, тобто. ми маємо справу із позитивним рядом.
Якщо $n\to\infty$, то $\frac\to 0$. Отже, $e^\frac-1\sim\frac$. Використана формула розміщена в таблиці в кінці цього документа: $e^x-1 \sim x$ при $x\to0$. У нашому випадку $ x = \ frac $.
Замінимо вираз $e^\frac-1$ на $\frac$, отримавши у своїй $n\cdot\left(\frac\right)^2=\frac$. Відкидаючи число, прийдемо до дробу $\frac$. Саме з гармонійним рядом $\sum\limits_^\frac$ ми і порівнюватимемо заданий ряд, використовуючи другу ознаку порівняння. Нагадаю, що гармонійний ряд розходиться.
Оскільки $0 n^3+5$, то $\frac > 1$. Отже, $ln\frac > 0 $, тобто. $u_n > 0$. Ми маємо справу з позитивним рядом.
Помітити еквівалентність, яка потрібна в цьому випадку, дещо важкувато. Запишемо вираз під логарифмом трохи в іншій формі:
Ось тепер формула видно: $ \ ln (1 + x) \ sim x $ при $ x \ to 0 $. Оскільки при $n\to\infty$ маємо $\frac\to 0$, то $\ln\left(1+\frac\right)\sim\frac$.
Замінимо вираз $\ln\frac$ на $\frac$. Відкидаючи "зайві" елементи, прийдемо до дробу $\frac$. Саме з рядом $\sum\limits_^\frac$ ми і станемо порівнювати заданий ряд, використовуючи другу ознаку порівняння. Оскільки $3 > 1$, то ряд $\sum\limits_^\frac$ сходиться.
Відповідь: ряд сходиться.
Дослідити ряд $\sum\limits_^\frac$ на збіжність.
Оскільки нижня межа підсумовування дорівнює 1, загальний член ряду записаний під знаком суми: $u_n=\frac$. Оскільки $u_n ≥ 0$, то заданий ряд є позитивним.
Загальний член ряду містить добуток елементів ступеня $n$. Крім того, є $n! $. І тут зручно застосувати ознака Д'Аламбера. Однак за бажання можна використовувати і ознаку порівняння. Оскільки $\left(\frac\right)^n < n! < e\cdot\left(\frac\right)^n$, то можемо записати таку нерівність для загального члена ряду: