Пандіагональні магічні квадрати 9-го порядку
Визначення та властивості магічних квадратів дивіться у вікіпедії або на сайті Наталії Макарової [1] . Тут описано алгоритм побудови пандіагонального магічного квадрата дев'ятого порядку із довільних чисел.
а) Вибираємо дев'ять різних чисел a 1 … a 9 таких, що виконуються умови:
b) Вибираємо три числа d 1 , d 2 та d 3. Ці числа разом з a 1 … a 9 задають дев'ять послідовностей:
Наприклад, для d 1 = 20 d 2 = 29 і d 3 = 18 отримаємо наступні послідовності.
c) Розташуємо числа цих послідовностей у таблиці так:
Для нашого прикладу вийде така таблиця:
1 ) сума елементів у кожному стовпці та на діагоналях дорівнює a 1 + … +a 9 + 15 *d 1 + 12 *d 2 +9 *d 3 (магічній сумі майбутнього квадрата S)
2 ) у кожному стовпці суми трьох елементів ( 1 , 4 , 7 ) , ( 2 , 5 , 8 ) та ( 3 , 6 , 9 ) збігаються і дорівнюють a 1 + a 4 + a 7 + 5 * d 1 + 4 * d 1 + 3 *d 2 (= 1 / 3 *S)
d) До отриманої таблиці застосовуємо перетворення [2]
За даними прикладу вийде наступний пандіагональний магічний квадрат:
Аналогічні умови для примітивних квадратів отримані Н. Макарової [3] .
Пандіагональні квадрати 9-го порядку із простих чисел
Мені вдалося знайти пару квадратів із простих чисел. Не повторюватимуся тут, квадрати наведені на сторінці з підсумками конкурсу. Ці квадрати отримані практично випадково (методом "тику"). Через деякий час я прийшов до стратегії, яка дає змогу знаходити такі квадрати (Тут і мої ідеї, і ідеї Н.Макарової, почерпнуті з особистого листування).
Погляньмо ще раз, що нам потрібно знайти. Нам потрібна досить велика група послідовностей із різницями a, b, c, a, b, c, a, b.З цієї групи потрібно буде вибрати три групи (по три послідовності) з однаковими сумами перших елементів. Два перші квадрати отримані з групи з більш ніж двома сотнями послідовностями.
Вибравши значення a,b,c не важко відібрати з простих чисел потрібні послідовності. (Для чисел до 5*10 10 це займає 30 – 40 хвилин). Нам потрібні такі значення a, b, c, щоб послідовностей було якнайбільше. Зробимо перебір значень a, b, c у невеликому діапазоні (наприклад 10 - 60) з деяким кроком (у мене крок = 6). Для кожної трійки немає можливості перевірити весь список простих чисел, тому обмежимося невеликим списком або, як я робив, обмежимо час і обчислимо швидкість, з якою з'являються потрібні нам послідовності. Тепер із усіх трійок a,b,c відберемо лише ті, які мають максимальну швидкість і вже для них виберемо послідовності зі всього списку простих чисел.
Цим способом обрано значення a = 66 b = 168 c = 396. Серед отриманих послідовностей знайдено дев'ять, що утворюють примітивний квадрат. Перші члени послідовностей