Парадокс різноманітної однаковості, Журнал «Наука у фокусі»
Основний предмет вивчення теоретичних науках — яке все світі однакове. Для вираження однаковості придумано десятки різних термінів, розібратися з якими постарався Олександр Сергєєв.
"Усі тварини рівні" - гласила 7-ма заповідь "Скотського хутора" Джорджа Оруелла. Але потім до неї додали застереження про те, що деякі тварини рівніші за інші, і це відволікає від парадоксального сенсу вихідного формулювання. Чому, власне, рівні всі тварини? Один одному? Кінь дорівнює корові, а кожен із них — курці? Саме так: рівність, виявляється, буває лише тоді, коли є нерівність.
Це не софістика, а елементарна логіка: щоб стверджувати рівність двох об'єктів, треба спочатку вказати на них як різні. Ось, наприклад: 2 х 2 = 4, правда? Але ж три символи «2», «х» і «2» — зовсім не те саме, що один символ «4». Рівні між собою символи, а відповідні їм значення. Це і є сенс рівності: про різні записи говориться, що вони еквівалентні кількісно.
Еквівалентність - це узагальнення поняття рівності, що означає, що об'єкти у певному відношенні взаємозамінні. Як «двічі два» і «чотири» щодо чисельного значення або як курка та кінь у Оруелла щодо їхніх прав: тварину змінюєш — права залишаються. Отже, говорячи про еквівалентність, важливо чітко позначати її контекст: які властивості ми розрізняємо, а які прирівнюємо. Ось чому тривіальна, начебто, ідея однаковості обросла неймовірним числом синонімів (включаючи саме слово «синонім»). Так, рівність — це збіг значень різних записів. Якщо ж записи (чи інші об'єкти) однакові і відрізняються лише місцезнаходженням, то говорять про їхню ідентичність. У записі 4 = 4 четвіркиідентичні, але одна стоїть ліворуч від знака рівності, а інша — справа, тож це різні символи, і при розрахунку гонорару їх врахують окремо. Зовсім інший зміст вкладається у поняття тотожність. Тут ми маємо справу ні з окремими значеннями, і з функціями, залежними від змінної величини. Якщо двох функцій вимагати рівності, то вийде рівняння — завдання знайти потрібних значень змінної (коренів). А от якщо значення функцій збігаються за будь-яких значень змінної, то має місце тотожність.
У логіці говорять про рівносильність тверджень. (Сила в правді? Або в істині?) У геометрії конгруентними називають фігури, що збігаються за формою та розмірами і відрізняються лише положенням (тобто ідентичні). Якщо ж розміри фігур все ж таки можуть відрізнятися, то говорять про подобу. Коли постать, повернена, відбита, зсунута чи інакше змінена, знову збігається сама із собою, ніби щось змінювалося, таку еквівалентність називають симетрією. Пропустимо всілякі ізоморфізми та гомології, перейдемо до фізики. Тут люблять однорідність - однаковість чогось (припустимо, температури або метрики) у всіх точках простору, ізотропність - однаковість по всіх напрямках (швидкості світла, скажімо) і, звичайно, збереження (воно ж сталість, воно ж незмінність) - однаковість значення тієї або іншої величини (наприклад, енергії чи імпульсу) у різні моменти часу. Це все також симетрії.
Але немає більш глибокого та універсального інструменту для пізнання природи однаковості, ніж поняття інваріантності, яке узагальнює майже все, що згадувалося вище. Інваріант — це властивість об'єкта, яке «не варіюється» в процесі його життя чи інших трансформацій. Принаймні поки що об'єкт залишається самим собою. Можна сказати щосукупність інваріантів - це сутність об'єкта в сенсі античного протиставлення сутності та акциденції (невід'ємного та минущого). Вся сучасна фізика будується навколо різних інваріантів (у законах збереження та інших симетріях). А суть теорії відносності зводиться до того, що закони природи є інваріантними щодо зміни системи відліку. Це вкрай важлива ідея: адже система відліку вибирається нами довільно, і сутність фізичних явищ не повинна залежати від неї. (Отже теорію Ейнштейна правильніше називати теорією абсолютності.)
Пошук інваріантів та вивчення того, як із них у різних «ракурсах» народжується вся різноманітність світу, є основним заняттям усіх теоретичних наук. Можна сміливо сказати, що наука — це пошук однакового в різному і в однаковому.