Параметрична поверхня - це
Точка та базис з двох неколлінеарних векторів у тривимірному просторі визначає площину та відображення на неї двовимірної декартової системи координат. Тим самим визначаєтьсяuv-параметризація площини (uтаv- параметри):
- Плоский N-кутник
У загальному випадку параметризацію в N-кутнику можна ввести, використовуючи систему барицентричних координат.
Цей найважливіший окремий випадок N-кутника заслуговує на особливу увагу. Найбільш поширений спосіб параметризації трикутника - лінійне відображення на нього трикутника зuv-простору.
Для параметризації сфери найзручніше використовувати однойменну систему координат:
.
- Циліндр
.
Криві поверхні
Упорядкований набір із 4-х точок у просторі визначаєбілінійну інтерполяційну поверхнюі задає відображення на неї квадрата :
Ця поверхня єгладкою, проте неможливість задавати довільні дотичні на її кордоні робить її практично незастосовною як патчі
На практиці застосовується в основному два види поверхонь Безьє:бікубічна 3-го порядка- чотирикутник, що визначається 16-ма точками, ібарицентрична 3-го порядка- трикутник, що визначається 10 точками. Барицентрична система координат у трикутнику містить 3 числа, тому вона завжди зручна.
Кордон поверхні Безьє складається з кривих Безьє. Крапки, що визначають поверхню, визначають також криві її межі, включаючи нормалі на них. Це дозволяє створюватигладкі складові поверхні, тобто використовувати поверхні Безьє як патчі
Раціональна поверхня Безьєвідрізняється тим, що кожній точці в їїУ визначенні призначена деяка «вага», що визначає ступінь її впливу на форму поверхні.
На практиці зазвичай застосовуютьсябікубічні B-сплайнові поверхні. Як іповерхні Безье, вони визначаються 16-ма точками, однак у загальному випадку не проходять через ці точки. Однак B-сплайн зручно використовувати як патчі, так як вони добре стикуються один з одним при використанні загальної сітки вершин, а самі вершини дозволяють явно задавати нормалі і дотичні на межах патчів.
При необхідності більш гнучкого управління формою поверхні застосовуютьраціональні B-сплайни,неоднорідні B-сплайни, а також комбінований варіант -неоднорідні раціональні B-сплайни(NURBS).
Властивості параметричних поверхонь
Нехай. Тоді:
- Нормаль у точці поверхні визначається виразом:
- Дотична площина у заданій точці може бути описана рівнянням:
- Площа параметрично заданої поверхні розраховується за формулами:
, де