Павлов Андрій
Передмова для вчителів
Ця книга має дві мети. З одного боку, вона є посібником для учнів, покликане узагальнити знання з курсу планіметрії, підготувати школяра до складання іспиту з геометрії в 9 класі. З іншого боку, книга може бути корисною вчителям математики, оскільки містить не тільки необхідний матеріал для підготовки учнів до іспиту, але й комплекти екзаменаційних квитків із завданнями та відповідями до них. Особливістю посібника є принцип рівневої диференціації, що реалізується в ньому. Усі питання, завдання та екзаменаційні комплекти умовно поділені на три рівні: базовий, поглиблений та елективний (рівень вказаний у дужках після кожного завдання). Перший рівень відповідає загальноосвітнім класам та спирається на чинні стандарти математичної освіти. Другий рівень, крім базових, містить питання та завдання підвищеної складності. Робота на цьому рівні доцільна у гімназійних (ліцейських) класах у рамках пропедевтики профільного навчання у старших класах. Третій рівень включає матеріал, який можна використовувати як на факультативах, так і в спеціалізованих школах при підготовці учнів до вступу до таких вузів як МДУ, МФТІ, МАІ, МДТУ та інші. У посібнику чотири розділи. Перший розділ містить довідкову інформацію та контрольні питання з усього курсу планіметрії. Теоретичний матеріал, що виходить за межі шкільної програми, виділено іншим шрифтом. У другому розділі йде розбір планиметричних завдань як у об'єкті рішення (трикутник, трапеція, паралелограм, окружність тощо. буд.), і по використовуваним прийомам і методам, доповнюваний завданнями самостійної роботи. У третьому розділіпредставлені чотири комплекти квитків з геометрії. У четвертому розділі даються відповіді, рішення та вказівки до наведених завдань.
Автор висловлює подяку своїм учням: Федору Борзову, Ігорю Григор'єву, Олені Гудковій, Марії Ларькіної, Наталі Парамзіної, Марії Соловйовій, Марії Трошиної, Антону Турецькому, Артему Умаханову, Євгену Штиркову, які надали велику допомогу у створенні книги.
Розділ 1 Довідкова інформація теоретичного характеру
§ 1. Логічні засади шкільного курсу планіметрії
1.1. Довідкова інформація
Кілька додаткових відомостей щодо аксіоматичного підходу в геометрії. Система аксіом геометрії підбирається не довільним чином. До неї пред'являються три основні вимоги: незалежності, несуперечності та повноти. Система аксіом називається незалежною, якщо жодну з аксіом не можна вивести як теорему з інших аксіом (тоді ця аксіома була б зайвою). Система аксіом називається несуперечливою, якщо з неї не можна вивести дві теореми, які суперечать одна одній. Систему аксіом називають повною, якщо яке б твердження про властивість тієї чи іншої геометричної фігури ми не сформулювали, завжди можна встановити - істинно воно чи хибно. Наведена вище система аксіом евклідової геометрії задовольняє всім трьом вимогам (доведено А. В. Погореловим). Крім евклідової існують і інші аксіоматичні теорії (неевклідові геометрії). Наприклад, якщо дев'яту аксіому евклідової геометрії замінити її заперечення («Через точку, що не лежить на прямій, можна провести більше однієї прямої, паралельної даної»), інші ж залишити без зміни, отримаємо планиметрію Лобачевського. Тоді будуть доведені несподівані для нас твердження: «Сума кутів утрикутнику менше двох прямих», «існують трикутники, біля яких не можна описати коло», «не існує подібних трикутників» та багато інших. Змінюючи систему аксіом, а також змінюючи невизначені поняття та відносини, ми отримуватимемо інші неевклідові геометрії (сферичну, еліптичну і так далі). Крім аксіоматичного, у геометрії широко поширений аналітичний підхід. Його суть полягає в тому, що на площині вводиться система координат і кожній точці ставиться у відповідність пари чисел (х; у) – її координати. Завдяки цьому вдається записувати рівняння різних фігур (прямих, кіл і так далі), вивчати їх властивості. Введення декартової прямокутної системи координат і застосування апарату алгебри нерідко дозволяють легше вирішувати багато завдань з геометрії. Узагальненням (у певному сенсі) аналітичного підходу в геометрії є векторний підхід. Різниця полягає в тому, що на площині вводиться векторна (афінна) система координат, причому два базові вектори не обов'язково перпендикулярні один одному і до того ж можуть відрізнятися по довжині. Введення векторної системи координат також нерідко дозволяє швидше і простіше вирішувати цілу низку геометричних завдань. У вищій геометрії дуже поширений груповий підхід. Групою називається непорожнє безліч М, у якому визначена деяка операція*, причому виконуються такі умови: 1) будь-яких елементів а, в, з М(а*в)*с = а*(в*с): 2) існує елемент е з М, такий, що а * е = е * а = а: 3) для будь-якого елемента а існує елемент а-1, що а * а-1 = а-1 * а = е. У геометрії можна виділити безліч груп, наприклад, групу переміщень, групу перетворення подібності. Найважливішою групою у планіметрії є група переміщень площини, оскільки з їїдопомогою вводиться поняття рівних фігур. Рівні фігури мають однакові геометричні властивості, які не змінюються (інваріантні) під дією переміщень. Загалом можна сказати, кожна група перетворень задає свою геометрію, у якій вивчаються властивості фігур, інваріантні (незмінювані) щодо цієї групи перетворень. Інваріанти групи переміщень (та інших груп) «невидимо» присутні під час вирішення завдань методом геометричних перетворень. Так, будуючи образи фігур при різних видах рухів (симетрія, паралельне перенесення і так далі), ми отримуємо рівні фігури, що дозволяє в ряді випадків успішно вирішувати складні завдання.