Переміщення при рівнозмінному русі
Два види механічного руху - рівномірний і рівнозмінний аналітично відображаються за допомогою рівняння залежності координати від часу = 0 + ∙ Δ і швидкості від часу υ = υ0 + ∙ Δ.
Але ці види руху можна відобразити і графічно
На наведених графіках залежності координати тіла від часу руху – = () та швидкості тіла υ від часу руху – υ = υ () відображено рівномірний рух, швидкість якого υ = 2 м/с.
Якщо рух відбуватиметься з іншою швидкістю, то на першому графіку зміниться кут нахилу прямої по відношенню до осей координат.
Тангенс кута нахилу побудованої лінії дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого. Але протилежний катет є нічим іншим, як різниця координат чи проекція переміщення на координатну вісь, а прилеглий катет – час руху.
Отже, можна сказати, що чисельно тангенс кута нахилу прямий в осях і дорівнює швидкості рівномірного руху тіла.
Можна зауважити, що якщо на графіку залежності υ = υ () з точки, що відповідає деякому часу руху тіла, відновити на побудовану лінію перпендикуляр, вийде прямокутник, площа якого визначається добутком основи на висоту. Але основа є що інше, як час руху Δ, а висота – швидкість υ, з якою рухається тіло.
Площа цього прямокутника чисельно дорівнює переміщенню, яке здійснює тіло за заданий час Δ.
Відобразимо на графіку залежності υ = υ () Рух тіла, що протікає з постійним за величиною прискоренням .
Нехай = 2 м/с 2 й у початковий час тіло має швидкість υ0 = 1 м/с.
За першу секунду швидкість тіла, відповідно до рівняння υ = 1 + 2 ∙ (υ = υ0 + ∙ Δ), зросла на 2 м/с і стала, відповідно, 3 м/с. Через 2 сшвидкість стала рівна 5 м/с, через 3 с – 7 м/с тощо.
Якщо з'єднати відповідні точки, то вийде пряма лінія, яка нахилена до осей υ і обмежена ділянкою, що розглядається.
Згадаймо, що для рівномірного руху у відповідних осях (υ , ) площа прямокутника чисельно дорівнює переміщенню, яке здійснюється тілом за час Δ. У разі ми маємо не прямокутник, а трапецію.
Розіб'ємо трапецію на кілька смужок. Маленькі трапеції, що утворилися, можна в свою чергу розбити на прямокутники і трикутники. У разі площі прямокутників і трикутників можна порівняти друг з одним. Але якщо зменшити ширину смужок, то зменшиться відповідно і площа, що припадає на трикутники. Якщо смуги будуть досить вузькі, то відносна площа трикутників буде настільки маленькою порівняно з відповідною площею прямокутників, що нею можна знехтувати.
Можна вважати, що трапеція складається з безлічі прямокутників, площа кожного з яких дорівнює переміщенню тіла за дуже малі інтервали часу Δ. Загальне переміщення дорівнює сумі переміщень, скоєних тілом протягом усього часу.
Таким чином, переміщення, здійснене тілом за заданий час при рівнозмінному русі, чисельно дорівнює площі трапеції, обмеженої графіком швидкості та вертикаллю, опущеної на вісь.
Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми підстав на висоту.
Одна з підстав трапеції чисельно дорівнює початковій швидкості друге – кінцевої швидкості Висота трапеції чисельно дорівнює часу руху тіла. Таким чином: Це рівняння можна перетворити.
Якщо записати рівняння залежності швидкості тіла від часу руху за рівноприскореного руху υ = υ0 + ∙ Δ, то післяспільного розв'язання двох рівнянь можна отримати або рівняння, що відображає залежність між переміщенням і часом руху тіла для випадку, коли кінцева швидкість руху невідома, або залежність між переміщенням, початковою і кінцевою швидкістю руху тіла, якщо не відомий час руху:
Оскільки основне завдання механіки зводиться до знаходження рівняння, що відображає залежність координат тіла від часу, з урахуванням того, що отримані рівняння можна переписати у вигляді:
У векторному вигляді перше рівняння матиме вигляд:
Знання отриманих залежностей дозволяє проводити аналіз руху різних тіл і, зокрема, відповідати на запитання: чи рух тіла є рівнозмінним?
Розглянемо як приклад рух візка, що скочується з похилої площини.
Припустимо, що це рух рівноприскорений. Для безпосередньої перевірки цього припущення потрібний спеціальний прилад – акселерометр. За його відсутності перевірка носитиме опосередкований характер і може виглядати так.
Якщо посилка правильна, то для візка, що рухається, залежність між переміщенням і часом повинна мати вигляд:
Зокрема, якщо то
При
При
При
При
Якщо візок рухається з постійним прискоренням, то переміщення, що здійснюються за послідовні рівні проміжки часу, будуть ставитися як ряд непарних чисел.
Експериментальна перевірка цього висновку дозволяє встановити, що це справді так. Отже, рух візка є рівноприскореним.