Перетин співвісних поверхонь обертання
При побудові лінії перетину співвісних поверхонь обертання, тобто. таких, осі яких перетинаються, найбільш ефективним єметод допоміжних сіючих концентричних сфер.
Зазначимо, що цей метод застосовується лише у разі виконання трьох умов:
1). Обидві поверхні, лінію перетину яких визначаємо, є поверхнями обертання;
2). Осі цих поверхонь обертання повинні бути паралельні до однієї з площин проекцій;
3). Осі заданих поверхонь повинні перетинатися.
Як бачимо, для вирішення попередньої задачі про перетин конуса і сфери зазначений метод не застосовується, так як не виконується третя умова.
Розв'яжемо задачу про перетин двох конусів, осі яких перетинаються і паралельніП2 (рис. 7.2).
Мал. 7.2. Побудова точок перетину конусів.
Центром концентричних сфер, які забезпечують додаткові побудови, необхідні вирішення завдання, є точка перетину осей поверхонь обертання. У разі це точкаОперетину осей конусів.
Розглянемо побудову точок перетину конусів за допомогою довільної сфери (рис. 7.2). Її проекція на П2 є коло такого ж радіусу, як і сфера.
А проекцією на П2 лінії перетину побудованої січної сфери з конусом є пряма, паралельна до основи конуса. Її можна побудувати, з'єднавши точки перетину кола та контуру конуса. Очевидно, що таких прямих дві для кожного конуса.
ТочкиА2,В2,С2 перетину цих прямих між собою і є фронтальними проекціями точок перетину конусів. Як бачимо, використовуючи лише однуколо, можна отримати кілька точок перетину конусів. Зрозуміло, що їх не може бути більше чотирьох для додаткової сфери.
Далі не важко побудувати горизонтальні проекції точокА, В, С, враховуючи, що кожна з них є точкою на поверхні прямого конуса. Як викладалося раніше (п.4.1), при цьому достатньо виміряти відстані від осі конуса до його контуру по прямій, що проходить через точку, горизонтальну проекцію якої будуємо. Потім цим радіусом з точкиО1 провести коло і на ній по лінії зв'язку знайти горизонтальну проекцію. На рис. 7.2 зазначені побудови виконані для точкиС. Оскільки їй на П1 відповідає дві точкиС1 іС1*, то зрозуміло, що на П2 маємо справу з двома конкуруючими точками. Тому, уточнюючи попередні зауваження, слід зазначити, що побудована січна сфера дає не три, а шість точок перетину конусів. Побудова горизонтальних проекцій решти точок нічим не відрізняється від наведеного вище.
Для того, щоб побудувати лінію перетину конусів, точок, через які вона проходить, має бути достатньо. Подальше розв'язання поставленого завдання розглянемо на рис. 7.3. Чотири точки 12, 22, 32, 42 маємо без додаткових побудов, тому що вони лежать на перетині конусів, що утворюють. Інші точки наП2 отримаємо, провівши чотири кола. Для кола радіусуR1 фронтальними проекціями точок перетину конусів є 52, 52*, 52**, 52***. Для кола радіусуR2 таких точок дві – 62, 62*. Окружність радіусуR3 дає також дві точки - 72, 72*. Окружність радіусуR4 дозволяє отримати лише одну точку 82. Очевидно, що проводити кола радіусом, більшим ніжО242, і меншим, ніжR2, не маєсенсу, оскільки отримаємо жодної точки перетину.
Як бачимо на рис. 7.3, чотирьох кіл достатньо для того, щоб побудувати фронтальну проекцію лінії перетину конусів, з'єднавши знайдені точки.
Мал. 7.3. Перетин двох конічних поверхонь.
Для побудови горизонтальної проекції отриманих точок необхідно вирішити розглянуте завдання побудови точок на поверхні конуса. Так, для побудови точки, наприклад, 71 треба виміряти відстань по горизонтальній лінії, що проходить через 72 від осі до контуру конуса, а потім цим радіусом з точкиО1 провести дугу. Точка 71 лежить на перетині цієї дуги з лінією зв'язку, проведеної з 72. Аналогічно будуються горизонтальні проекції решти точок.
Оскільки точки 5* і 5** лежать на утворюючій горизонтального конуса, яка наП1 є контурною, то, очевидно, що точки 51* і 51** служать точками переходу лінії перетину конусів з видимої зони в невидиму .
З урахуванням того, що зображені поверхні симетричні щодо фронтальної площини рівня, з'єднавши збудовані
точки кривою лінією, отримаємо рішення у остаточному вигляді (рис. 7.3).
В окремому випадку, коли розміри поверхонь обертання, що перетинаються, такі, що обидві вони можуть бути описані навколо однієї і тієї ж сфери, застосовна теорема Монжа.
7.3. Теорема Монжа
Якщо дві поверхні другого порядку описані близько третьої поверхні (або вписані в неї), то лінія їхнього перетину розпадається на дві плоскі криві другого порядку (еліпс, коло, гіперболу, параболу). Причому площини цих кривих проходять через пряму, що з'єднує точки перетину лінії торкання.
Розв'язання задачі про знаходження лінії перетину конуса та циліндра,зображених на рис. 7.4 значно спрощується, якщо застосуватитеорему Монжа.
Мал. 7.4. Побудова лінії перетину циліндра та конуса за теоремою Монжа
Як бачимо, обидві поверхні описані навколо сфери. Побудуємо рішення спочатку наП2. Очевидно, точки 12, 22, 32, 42 є точками перетину конуса та циліндра, оскільки лежать на контурних утворюючих. Тоді відповідно до теореми Монжа рішенням є дві прямі, що проходять через точки 12 і 32 і точки 22 і 42, оскільки ці прямі є фронтальними проекціями площин, згаданих у теоремі.
В даному випадку отримані лінії перетину циліндра і конуса є еліпсами, побудова яких на П 1 нічим не відрізняється від побудови будь-якої лінії, що лежить на поверхні конуса. Вибираючи точки на передній проекції кожної з ліній 13 і 24, отримуємо їх горизонтальні проекції.
Точки 1, 2, 3, 4 лежать на утворюючій конусі, паралельнійП2, тому їх положення наП1 можна знайти по лінії зв'язку, що проходить через 12, 22, 32, 42 Точки 5 і 6 обрані на утворювальній циліндра, також паралельноїП2, що дозволяє по фронтальним проекціям 52 і 62 знайти горизонтальні проекції 51 і 61 відповідно, які є точками переходу видимої частини горизонтальної проекції ліній перетину циліндра та конуса у невидиму.
Точка 7 є точкою торкання циліндра та конуса. Зважаючи на симетрію щодо фронтальної площини рівня рішення наП1 симетрично щодо горизонтальної осі, а наП2 видимі ділянки лінії перетину збігаються з невидимими.