Перетворення дробової частини числа
Оскільки дробова частина числа менше одиниці, її перетворення виконується множенням вихідного числа основу нової системи числення. Ціла частина результату множення буде старшим розрядом числа у новій системі числення. Дробну частину твору знову множать на основу системи числення. Операція множення виконується до досягнення необхідної точності результату. Усі операції виконують за правилами вихідної системи числення.
Наприклад розглянемо переклад дробового числа з десяткової системи числення двійкову. Нехай вихідне число A дорівнюватиме 0,35. Виконаємо операцію послідовного множення, як показано на малюнку 5.2.
Рисунок 5.2 – Приклад операції послідовного множення
В результаті описаних дій отримаємо двійкове уявлення числа A:
У випадку переклад правильних дробів є приблизним. Число розрядів у новій системі можна знайти виходячи з однакової точності подання чисел у різних системах числення. Однакова точність числа, записаного у різних системах числення, досягається при однакових вагах молодших розрядів відповідної системи числення. Визначити вагу молодшого розряду числа можна за такою формулою:
де q – основа системи числення.
У попередньому прикладі для десяткового числа 0,35 вага молодшого розряду M = 1/100 = 0,01. В отриманому двійковому числі вага молодшого розряду дорівнюватиме 1/32» 0,03. Тобто під час операції перетворення числа на двійкову форму ми погіршили точність уявлення числа втричі. Для однакової точності подання чисел у різних системах числення необхідно виконати рівність:
,
де p і q – основи старої та нової систем численнявідповідно.
Для визначення необхідної кількості розрядів у новій системі числення візьмемо логарифм на підставі (p) від цієї рівності:
,
звідки знайдемо потрібну кількість розрядів:
Визначимо необхідну кількість розрядів у двійковій системі числення для розглянутого раніше прикладу:
У наведеному прикладі кількість розрядів десяткового числа після комиn10 = 2, тобто в двійковій системі числення для тієї ж точності числа кількість розрядів повинна бути рівна:
Якщо ж потрібно забезпечити точність подання числа до трьох розрядів після комиn10 = 3, то кількість двійкових розрядів має бути не меншою:
Визначимо формули перерахунку кількості розрядів, потрібних для запису числа у вісімковій та шістнадцятковій системі числення:
,
У розглянутому вище прикладі для запису десяткового числа 0,3510 у вісімковій формі з тією ж точністю за цією формулою потрібно три розряди. Перевіримо це твердження:
Аналогічним чином можна здійснювати переведення в будь-яку систему числення. Винятком є переведення з двійкової системи числення у вісімкову або шістнадцяткову. Нагадаємо, що ці системи числення є коротким записом двійкового числа, тому в цьому випадку можна переводити числа з однієї системи числення до іншої за допомогою таблиць переходу 5.6 та 5.7. Двійкове число розбивається на тріади для переведення у вісімкову систему числення або на зошити для переведення в шістнадцяткову систему числення. Розбиття починається від двійкової коми.