Переведення чисел з однієї системи числення до іншої
Мета уроку:
- повторити вивчений матеріал на тему система числення;
- навчиться переводити число з десяткової системи до будь-якої іншої позиційної системи числення і навпаки;
- освоїти принципи переведення чисел з однієї системи в іншу;
- розвивати логічне мислення.
Хід уроку
Спочатку уроку коротке повторення та перевірка домашнього завдання.
- У якому вигляді представлена цифрова інформація у пам'яті комп'ютера?
- Навіщо використовуються системи числення?
- Які види систем числення ви знаєте? Навести свої приклади.
- Чим відрізняються позиційні системи від непозиційних?
Мета нашого уроку навчиться переводити число з десяткової системи до будь-якої іншої позиційної системи числення і навпаки. Але на початку ми розглянемо, як можна
уявити будь-яке ціле невід'ємне чисел:
У позиційних системах значення запису цілого числа визначається за таким правилом: нехай a na n-1a n-2…a 1a 0 — запис числа A, а i – цифри, тоді
| A = n·p n +a n-1·p n-1 +a n-2·p n-2 +. +a 1p 1 + a0p 0 (1), |
де p - ціле число більше 1, яке називається основою системи числення
Для того, щоб при заданому p будь-яке невід'ємне ціле число можна було б записати за формулою (1) і при цьому єдиним чином числові значення різних цифр повинні бути різними цілими числами, що належать відрізку від 0 до p-1.
1) Десяткова система
число 5735 = 5 · 10 3 +7 · 10 2 +3 · 10 1 +8 · 10 0
2) Трійкова система
число 2013 = 2 · 3 2 +0 · 3 1 +1 · 3 0
Примітка: нижнім індексом запису числа позначається основа системи числення, в якій записано число. Для десяткової системи численняіндекс можна писати.
Подання негативних та дробових чисел:
У всіх позиційних системах для запису негативних чисел як і у десятковій системі використовується знак ‘–’. Для відокремлення цілої частини числа від дробової використовується кома. Значення запису a na n-1a n-2…a 1a 0, a -1 a -2…a m-2 a m-1a m числа A визначається за формулою, що є узагальненням формули (1):
| A = an·p n +a n-1·p n-1 +a n-2·p n-2 +…+a1·p 1 +a0·p 0 +a-1·p -1 +a -2· p -2 +…+am-2·p –(m–2 )+am–1·p –(m–1 )+amp –m (2), |
75,6 = 7 · 10 1 +5 · 10 0 +6 · 10 -1
–2,3145 = –(2·5 0 +3·5 –1 +1·5 –2 +4·5 –3 )
Переклад чисел із довільної системи числення до десяткової:
Слід розуміти, що при перекладі числа з однієї системи числення до іншої кількісне значення числа не змінюється, а змінюється тільки форма запису числа, так само як при перекладі назви числа, наприклад, з української мови на англійську.
Переведення чисел з довільної системи числення до десяткової виконується безпосереднім обчисленням за формулою (1) для цілих і формулою (2) для дробових чисел.
Переклад чисел із десяткової системи числення довільної.
Перевести число з десяткової системи в систему з основою p означає знайти коефіцієнти у формулі (2). Іноді це легко зробити простим підбором. Наприклад, нехай потрібно перевести число 23,5 у вісімкову систему. Неважко помітити, що 23,5 = 16 +7 +0,5 = 2 · 8 +7 +4 / 8 = 2 · 8 1 +7 · 8 0 +4 · 8 -1 = 27,48. Зрозуміло, що не завжди відповідь така очевидна. У випадку застосовується спосіб перекладу окремо цілої і дробової частин числа.
Для перекладу цілих чисел застосовується наступний алгоритм (отриманий на підставі формули (1)):
1. Знайдемо приватне та залишок відрозподілу числа на p. Залишок буде черговою цифрою ai (j = 0,1,2 …) запису числа у новій системі числення.
2. Якщо приватне дорівнює нулю, то переведення числа закінчено, інакше застосовуємо до приватного пункту 1.
Примітка 1. Цифри ai запису числа нумеруються праворуч наліво.
Примітка 2. Якщо p>10, необхідно ввести позначення для цифр з числовими значеннями, більшими або рівними 10.
Перевести число 165 в семирічну систему числення.
165:7 = 23 (залишок 4) => a0 = 4
23:7 = 3 (залишок 2) => a1 = 2
3:7 = 0 (залишок 3) => a2 = 3
Виконавши перевірку за формулою (1), переконаємось у правильності перекладу:
3247 = 3 · 7 2 +2 · 7 1 +4 · 7 0 = 3 · 49 +2 · 7 +4 = 147 +14 +4 = 165.
Для перекладу дробових частин чисел застосовується алгоритм, отриманий на підставі формули (2):
1. Помножимо дробову частину числа на p.
2. Ціла частина результату буде черговою цифрою am (m = –1,–2, –3 …) запису числа у новій системі числення. Якщо дрібна частина результату дорівнює нулю, то переведення числа закінчено, інакше застосовуємо до неї пункт 1.
Примітка 1. Цифри am у записі числа розташовуються зліва направо у порядку зростання абсолютного значення m.
Зауваження 2. Зазвичай кількість дробових розрядів у новому записі числа обмежується заздалегідь. Це дозволяє виконати наближений переклад із заданою точністю. У разі нескінченних дробів таке обмеження забезпечує кінцевість алгоритму.
Перевести число 0,625 в двійкову систему числення.
0,625 · 2 = 1,25 (ціла частина 1) = gt; a-1 = 1
0,25·2 = 0,5 (ціла частина 0) = gt; a-2 = 0
0,5·2 = 1,00 (ціла частина 1) = gt; a-3 = 1
Отже, 0,62510 = 0,1012
Виконавши перевірку за формулою (2), переконаємось у правильності перекладу:
0,1012 = 1 · 2-1 +0 · 2 - 2 +1 · 2 -3 = 1/2 +1 / 8 = 0,5 +0,125 = 0,625.
Перевести число 0,165 в четвіркову систему числення, обмежившись чотирма четвірковими розрядами.
0,165·4 = 0,66 (ціла частина 0) = gt; a-1=0
0,66 · 4 = 2,64 (ціла частина 2) = gt; a-2 = 2
0,64 · 4 = 2,56 (ціла частина 2) = gt; a-3 = 2
0,56 · 4 = 2,24 (ціла частина 2) = gt; a-4 = 2
Отже, 0,16510” 0,02224
Виконаємо зворотний переклад, щоб переконатися, що абсолютна похибка не перевищує 4–4:
0,02224 = 0 · 4 -1 +2 · 4 -2 +2 · 4 -3 +2 · 4 -4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/ 128 = 21/128 = 0,1640625
0,1640625-0,165 = 0,00094 4). Згрупуємо цифри по чотири, дописавши, ліворуч і праворуч потрібну кількість нулів
і, повіряючись з таблицею, отримаємо: 1A9554,C16
Висновок:
У якій системі числення краще записувати числа – це питання зручності та традицій. З технічної точки зору, в ЕОМ зручно використовувати двійкову систему, тому що в ній для запису числа використовуються тільки дві цифри 0 і 1, які можна уявити двома легко помітними станами "немає сигналу" і "є сигнал".
А людині, навпаки, незручно мати справу з двійковими записами чисел через те, що вони довші за десяткові і в них багато цифр, що повторюються. Тому, при необхідності працювати з машинними уявленнями чисел використовують вісімкову чи шістнадцяткову системи числення. Підстави цих систем – цілі ступеня двійки, і тому числа легко переводяться із цих систем у двійкову і назад.
Записуємо завдання додому:
а) Запишіть дату народження всіх членів вашої сім'ї у різних системах числення.
б) Переведіть числа з двійкової системи у вісімкову та шістнадцяткову, а потім перевірте результати, виконавши зворотні переклади: