Період математики змінних величин Характеристика періоду
Особливістю є введення в математику ідей руху та виміру. На перший план входять функції. Вивчення функціональної залежності призводить до основних понять математичного аналізу: межа, похідна, диференціал, інтеграл. Геометр я також починає вивчати рухи та перетворення фігур. Створюється аналітична геометрія. Алгебра вивчає питання кількості дійсних коренів рівняння F(x)=0. Доводиться основна теорема алгебри. Вирішуються системи рівнянь за допомогою визначників. Розробляється теорія подільності багаточлена. Алгебра сприймається як частина аналізу, а геометрія – як прикладна математика, яка використовує результати чистої математики.
Математика у XVII столітті
Розвиток математики пов'язаний з успіхами астрономії та механіки. Кепплер відкрив і математично сформулював закони руху планет. Галілей створив механіку вільного падіння тіла, заснував теорію пружності, застосував математичні методи. Для пошуку закономірностей між відстанню і швидкість прискорення. Ньютон сформулював закон всесвітнього тяжіння. Ці успіхи в природознавстві, створення математичного апарату вивчення процесів руху. Вчення XVII століття були одночасно математичками, натуралістами, механіками, у XVII столітті створюються наукові організації та суспільства, наприклад, лондонське королівське суспільство. У 1666 році організовано паризьку академію. Наукові установи та товариства плідно працювали за державної підтримки. З XVII століття беруть початок майже всі математичні дисципліни, що нині входять до сучасної вищої освіти.
Аналітична геометрія. Почала формуватися завдяки Декатру та Ферма, як метод вираження числових співвідношень, розмірів, форм та властивостей геометричних об'єктів на основі методів координат.Початок поклала книга Декарта "Геометрія", в якій він заклав основу методу координат і ввів загальну ідею змінної величини. Дав класифікацію кривих з поділом їх на трансцендентні алгебраїчні.
Диференційне та інтегральне числення. Кеплер розробив метод обчислення геометричних фігур. Кавальєрі розробив інтеграційний метод, що дозволяє знаходити певні інтеграли від багаточленів. Обчислювати обсяги геометричних тіл. На середину XVII століття постало питання створення з розрізнених методів єдиного інтегрального обчислення. Диференціальні методи розвивалися у зв'язку з розв'язанням задач на рухи (миттєва швидкість) та проведення дотичних до кривих. Диференціальні методи вирішували завдання: знаючи криву лінію, знайти її дотичні. Практика ставила обернене завдання: знаючи дотичну пряму, знайти відповідну криву. З'ясувалося, що не можна застосовувати інтеграційні методи. Так було встановлено глибокий зв'язок між диференціальними та інтегральними методами. Перші теорії – перші форми диференціального та інтегрального обчислення: теорія Флюксії – Ньютона та обчислення диференціалів Лейбніца. Ньютон змінні величини, що у результаті безперервного руху, називав флюентами.
Теорія чисел. Паскаль сформулював принцип Ферма сформулював без підтвердження теорему: Велика теорема Ферма і мала теорема Ферма.
Розвиток математики уXVIIIстолітті пов'язане з необхідністю її застосування бурхливо розвивається промисловості, військової техніки, кораблебудуванням, картографією.
XVIIIстоліття характеризується видатними математиками з різних кіл суспільства, які працювали одночасно в галузі математики, природознавства та техніки.
Наприклад, Ейлер походив із пасторської сім'ї. Займався механікою, кораблебудуванням таоптикою.
Лагранж – син французького офіцера. У 18 років професор. Займався механікою.
Лапласс – син французького селянина. У 18 років викладав математику. У 20 років професор, у 37 – член паризької академії наук. Займався механікою.
XVII століття дало математиці потужний апарат. Аналіз нескінченно малих.
У XVIII столітті ці ідеї набули широкого поширення.
Ейлер ввів у математику символ F(x). Показав, що функціональна залежність є основним об'єктом вивчення математичного аналізу.
Введено та вивчено функції багатьох змінних.
Розроблялася теорія диференціювання та інтегрування від багатьох змінних.
Основний інструмент вивчення функцій - розкладання в нескінченно статечні ряди. У XVIII столітті було знайдено статечні ряди всім елементарних функцій (Ейлер, Даламбер, Тейлор).
Вивчалися розкладання функцій у тригонометричні ряди. Систематично використовувалися комплексні числа та введено символ.
У сфері геометрії продовжує розвиватися аналітична геометрія, просторова, нарисна геометрія.
В алгебрі - намагалися знайти загальний спосіб розв'язання рівнянь алгебри будь-якого ступеня.
Теорія чисел вперше набуває характеру систематичної науки. Ейлер довів ірраціональність числа. Даламбер довів ірраціональність π.
У XVIII столітті з математичного аналізу виділилася низка важливих математичних дисциплін, що мають велике прикладне значення: теорія диференціальних рівнянь, варіаційне числення, ТФКП, диференціальна геометрія, теорія ймовірності.
Основними центрами розвитку математики у Європі були Франція, Англія та Німеччина.
Проблеми обґрунтування математики змінних величин.
Слабкість математики XVIII століттябула відсутність логічного обгрунтування її найважливіших логічних елементів. Зокрема, без строго обгрунтування розвинувся апарат нескінченно малих. Наприклад, довжина кривої лінії замінювалася довжиною багатокутника. При обчисленні площ криволінійної постаті розбивали на нескінченно малі частини, кожну з яких вважали прямокутною. У у вісімнадцятому сторіччі неясність основ стала гальмувати розвиток аналізу. У математиці накопичилося велика кількість протиріч, парадоксів. Наприклад, вони розглядали такий ряд: . За x=1 буде. Вирішальні зміни відбулися першій половині ХІХ століття. Коші, Абель та інші вчені обчислення нескінченно малих обґрунтували на основі теорії меж. За допомогою межі отримали пояснення поняття похідна, інтеграл, безперервність функції, сума низки. Дослідження про суму межі та нескінченно малих було проведено Вейєрштрассом у 70-х роках XVIII століття. Для отримання суворих визначень Вейєрштрас розробив системуξ-δнерівностей. Таким чином, сучасний аналіз замінив використання інтуїтивних уявлень, пов'язаних із рухом суворим математичним апаратом нерівностей. Оскільки питання були зведені до нерівностей з числами, то виникла потреба уточнити поняття дійсного числа. У 1872 були побудовані теорії дійсного числа Кантором. Вейєрштрассом та Дедекіндом. Вивчення дійсних чисел, своєю чергою, призвело математиків до розгляду нескінченних множин. До кінця XIX століття склався стандарт вимог до логічної суворості, заснованої на теоретико-множинні концепції побудови будь-якої математичної теорії.
Виникають проблеми сприяли розвитку математики у ХІХ столітті.