Підполе - ПріМат
Підструктури
Нехай. Безліч є підгрупою групи , якщо саме є групою щодо звуження операції, визначеної на .
Критерій підгрупи
Нехай – група. Тоді є підгрупою , де - елемент, обернений до .
Перевірити, чи є група підгрупою групи , де безліч цілих чисел.
Те, що група, легко доводиться за визначенням. Розглянемо будь-які два елементи, що належать безлічі.
за критерієм підгрупи є підгрупою
Розглянемо кільце. Якщо множина є підмножина множини , замкнене щодо операцій складання та множення кільця , що містить нуль і одиницю кільця , а також разом з кожним містить протилежний до нього елемент , то є кільце. Його називають підкільцем кільця.
Іншими словами, називається підкільцем у , якщо воно саме є кільцем щодо звуження операцій, визначених на .
Критерій підкільця
Непорожнє підмножина кільця буде його підкільцем
Нехай поле. називається підполем, якщо саме є полем щодо звуження операцій, визначених на . При цьому називається розширенням. Поняття підполя визначається аналогічно поняттю підкільця. Єдина порівняно з визначенням підкільця додаткова вимога полягає в тому, що носій підполя повинен разом з кожним елементом містити зворотний до нього за множенням поля елемент. Це означає, що мультиплікативна група підполя має бути підгрупою мультиплікативної групи всього поля.
Якщо і різні елементи поля , то ми можемо визначити нове додавання і нове множення наступним чином:
(У геометричних термінах: ми змінюємо початок координат та масштаб.) Легко бачити, щоелементи множини утворюють поле і щодо нових операцій. Ми позначаємо це нове поле через . Ясно, що підмножина поля, яке є підкільцем поля, не буде, взагалі кажучи, підкільцем поля. Зазначимо, що й будуть відповідно нулем та одиницею поля .