Піфагор 3
| 1. | Бексултанова |
| 2. | Данія |
| 3. | Шоканівна |
| 4. | 10 Г |
| 5. | ОКШРС № 77 |
| 6. | Г. Караганда |
| 7. | Шокєнова З.У. |
| 8. | геометрія |
| 9. | Піфагор. Теорема Піфагора. |
| 10. | український |
| 11. | Потрібен комп'ютер |
ПІФАГОР. ФІЛОСОФ І МАТЕМАТИК, ПОЛІТИК І РЕЛІГІЙНИЙ ЛІДЕР
10 Г, ОКШДЗ № 77, м. Караганда
кер. Шокенова З.У.
Він був першою людиною, яка назвала себе філософом. До нього розумні люди називали себе гордо і дещо зарозуміло - мудрецями, що означало - людина, яка знає. Піфагор назвав себе філософом - тим, хто намагається знайти, з'ясувати. Слово "філософ", як і слово "космос", дісталися нам від Піфагора. Все в природі, казав Піфагор, поділено на три частини. Тому перш ніж вирішувати будь-яку проблему, її треба подати у вигляді трикутної діаграми. "Побачте трикутник - і завдання на дві третини вирішено". Піфагор стояв біля витоку грецької науки, він був змушений займатися всім відразу: арифметикою та геометрією, астрономією та музикою. Його метою було розібратися у будові Всесвіту та людського суспільства (від руху зірок до політичної боротьби).
Відкриття Піфагора:Він перший помітив, що сила та єдність науки засновані на роботі з ідеальними об'єктами. Наприклад, пряма лінія - це тятива натягнутої цибулі і не промінь світла: вони мають невелику товщину, а лінія товщини не має. Недосконалі природні тіла є лише грубуватим подобою ідеальних математичних сутностей. Перша наукова модель світу, запропонованаПіфагором – всі природні тіла та процеси суть спотворені подібності ідеальних тіл та рухів – а закономірності ідеальних об'єктів виражаються за допомогою чисел.«Числа правлять світом через властивості геометричних фігур»
Доказ теореми Піфагора:
Стародавні єгиптяни понад 2000 років тому практично користувалися властивостями трикутника зі сторонами 3, 4, 5 для
c 2 = a 2 + b 2. (1)
Порівнюючи співвідношення (1) і (2), отримуємо, що
Таким чином, трикутники – даний та побудований – рівні, оскільки мають по три відповідно рівні сторони. Кут C1 прямий, тому кут C даного трикутника теж прямий.
Піфагорійці утворили велике співтовариство (їх було більше трьохсот), але вона становила лише невелику частину міста, яке вже не керувалося згідно з тими ж звичаями та вдачами. Піфагорійці приписували числам різні властивості. Так, парні числа вони називали жіночими, непарні (крім 1) – чоловічими. Число 5 – як сума першого жіночого числа (2) та першого чоловічого (3) – вважалося символом кохання. Вони ж виділили поняття простого числа. Їм були знайомі три види пропорцій:
Піфагорійці довели, що сума кутів трикутника дорівнює сумі двох прямих кутів; встановили, що площину можна "замостити" правильними багатокутниками так, що навколо однієї точки лежатимуть або шість трикутників, або чотири квадрати, або три шестикутники.
Десять правил Піфагора:
-відхиляйся від доріг схожих, використовуй нехожені шляхи;
-Будь господарем своєї мови перш за все інших речей, слідуючи при цьому Богу;
- Дує вітер - поклоняйся шуму
- Допомагай людині у піднесенні тяжкості, але не допомагай у складанні її
- Вийшовши з дому свого, - не повертайся.
- Неговори про справи вчення без Світла.
- Годуй півня, але не приноси його в жертву, оскільки він присвячений Сонцю та Місяцю
- Не дозволяй ластівкам селитися у твоєму домі
- Не простягай охоче свою праву руку нікому.
- Підвівшись з ліжка, - згладь відбитки тіла.
На перший погляд це зведення правил нагадує містичне керівництво зі світу забобонів, але, мабуть, слова Піфагора не можна розуміти буквально, у прямому розумінні. За кожним із висловів стоїть прихований таємний зміст, а який нехай кожен вирішить собі сам.
Теорема Піфагора у стереометрії:
1) У стереометрії відомий аналог теореми Піфагора для трикутного паралелепіпеда d²=a²+b²+c², де d-діагональ паралелепіпеда a,b,c – величина трьох його вимірів.
2)У прямокутній піраміді квадрат площі гіпотенузи дорівнює сумі квадратів площ катетів.
Наслідки теореми Піфагора:
1)У прямокутному трикутнику будь-який з катетів менше гіпотенузи.
2)У прямокутному піраміді площа будь-якого з катетів менше площі гіпотенузи.
3)Якщо прямокутному трикутнику АВС, до гіпотенузи проведено висота СD=h,що ділить її на відрізки x і y, то H²=xy.
4) У прямокутній піраміді аналог висоти це трикутник СОН (СН ┴ АВ), Н²= XYsinφ.
5) Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів.
6) Об'єм прямокутної піраміди дорівнює 1/6√a²b²c², де а = ОА, b = OB, c = OC.
Прямокутний трикутник та прямокутна піраміда
Візьмемо в просторі довільний трикутник АВС і ортогонально спроектуємо його на площину β, що проходить через одну з сторін, наприклад сторону АВ.Нехай кут між площинами АВС та β дорівнює φ (рис. 1.)
Тоді не важко довести, що
S∆ABC = S∆ABC cosφ (1)
Формула (1) дозволяє визначити тригонометричні функції двогранного кута, не зводячи їх до тригонометричних функцій плоского кута.
Зауважимо, що прямокутному трикутнику ВСО (∟О = 90˚) правильна рівність ВО=ВСсоsφ (2)
Формули (1) і (2) схожі, лише у першому випадку ми брали трикутник та його проекцію, тоді як у другому – гіпотенузу і катет, що належить до куту α. Ці формули призводять до думки, що прямокутний трикутник ВСО аналогічний піраміді ОАВС.
При зустрічі із прямокутним трикутником відразу ж згадується теорема Піфагора. З'ясуємо, чи справедлива подібна теорема прямокутної піраміди.
Зауваження.У стереометрії відомий аналог теореми Піфагора для прямокутного паралелепіпеда: d² = a² + b² + c², де d – діагональ паралелепіпеда, а a, b, c – величини трьох його вимірів.
У прямокутній піраміді ОАВС АО=а, ВО=b, СО=с. За аналогією з теоремою Піфагора має виконуватися така рівність:
S²∆ABC = S²∆COA + S²∆COB +S²∆AOB.
Представивши в цю формулу рівність (1) і зробивши деякі перетворення, отримаємо
S²∆AOB · tg²φ = S²∆COA + S²∆COB (3).
У прямокутному трикутнику СОН tgφ = СО/ОН, за умовою СО=с, а ВІН знайдемо із трикутників АОВ та АНО. В одному sinα = ОВ/АВ? На іншому sinα = ОН/АО. Таким чином отримуємо рівність ВВ/АВ = ВІН/АВ, звідки ВІН = ВВ·АВ/АВ.
У прямокутному трикутнику АОВ АВ = √a² + b². Інші дані є в умові, в результаті ВІН = ab/√a² + b², а tgφ = c/√a² + b²/ab.
Площі прямокутних трикутників АОВ, СОА та СОВ рівні відповідно ab/2, aс/2 та bс/2. В результаті формула (3) набуває вигляду
a²b² / 4 · с²(a²+b²) / a²b² = a²с² /4 + b²с²/4;