Півкільця та алгебри

Напівкільце [ред.]

Визначення:
Нехай [math] X [/math] - кілька, [math] \mathcal R [/math] - сукупність його підмножин (не обов'язково всіх). Пара [math] (X, \mathcal R) [/math] називаєтьсяпівкільцем, якщо:
  1. [math] \varnothing \in \mathcal R [/math]
  2. [math] A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R [/math] (замкнутість щодо перетину)
  3. [math] A, B \in \mathcal R, A \subset B \Rightarrow \exists D_1, \ldots, D_n, \ldots \in \mathcal R: B \setminus A = \bigcup\limits_n D_n, D_n \in \ mathcal R, D_i \cap D_j = \varnothing [/math] для [math] i \ne j [/math] (далі просто говоритимемо, що ці множини диз'юнктні).

Простий приклад півкільця: [math] X = \mathbb R, \mathcal R = \[/math]. Елементи цього півкільця називаютьсяосередками.

Доведемо тепер пару корисних тверджень для напівкілець.

Твердження:

[math]\triangleright[/math]

Доказ ведемо індукцією за [math] n [/math]. При [math] n = 1 [/math] отримуємо точно третю аксіому півкільця.

Нехай тепер твердження виконувалося для [math] n - 1 [/math] множини. Тоді отримуємо:

[math] B \setminus \bigcup\limits_^ A_j = (B \setminus \bigcup\limits_^ A_j\ ) \setminus A_n = (\bigcup\limits_ D_k) \setminus A_n = \bigcup\limits_(D_k \setminus = \bigcup\limits_(\bigcup\limits_ D_) = \bigcup\limits_ D_l [/math]

Очевидно, множини з об'єднання, що вийшло, диз'юнктні, як і потрібно, тому твердження виконується для будь-якого [math] n [/math] .

[math]\triangleleft[/math]
Твердження:
[math]\triangleright[/math]

[math] \bigcup\limits_ B_n = B_1 \cup (B_2 \setminus B_1) \cup (B_3 \setminus ( B_1 \cup B_2 )) \cup \ldots \cup (B_ \setminus (\bigcup\limits_^n B_k) ) \cup \ldots [/math]

За доведеним вище твердженням, це об'єднання можна записати як:

[math] B_1 \cup (\bigcup\limits_ D_) \cup (\bigcup\limits_ D_) \cup \ldots = \bigcup\limits_ D_l [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Алгебра [ред.]

Визначення:
Нехай [math] X [/math] - кілька, [math] \mathcal A [/math] - сукупність його підмножин. [math] \mathcal A [/math] -алгебра, якщо:
  1. [math] \varnothing \in \mathcal A [/math]
  2. [math] B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A [/math]
  3. [math] B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap C \in \mathcal A [/math]

[math] \mathcal A [/math] називаєтьсяσ-алгеброю(сигма-алгеброю, лічильною алгеброю), якщо третя аксіома посилена вимогою приналежності [math] \mathcal A [/math] перетину лічильного числа множин:

[math] B_1, B_2, . \in \mathcal A \Rightarrow \bigcap\limits_ B_n \in \mathcal A [/math]

З даних аксіом слід, що [math] X = \overline \varnothing \in \mathcal A [/math] і [math] B \cup C = \overline \in \mathcal A [/math] , тому алгебра замкнута щодо будь-яких кінцевих теоретико-множинних операцій.

σ-алгебра замкнута щодо теоретико-множинних операцій з не більш ніж лічильним числом об'єктів.

Cигма-алгебри є окремим випадком звичайних алгебр, які, у свою чергу, є окремим випадком напівкілець: [math] A \subset B,B \setminus A = B \cap \overline A \in \mathcal [/math]