Площа багатокутника онлайн калькулятор, формули, приклади рішень

Багатокутник або полігон - геометрична фігура, яка має n-ну кількість кутів. Загалом багатокутник - це частина площини, яка обмежена замкненою ламаною.

Геометрія багатокутників

Загалом така геометрична фігура може мати абсолютно будь-який вигляд. Наприклад, символи зірки та компасу, полігон для моделювання чи грань шестерні – багатокутники. Багатокутні фігури поділяються на дві групи:

неопуклі, які мають будь-яку химерну форму з можливими самоперетинами (найочевидніший приклад — зірка);
опуклі, всі точки яких знаходяться по одну сторону від прямої, проведеної через дві сусідні вершини (квадрат, трикутник).

Випуклий полігон, у якого всі кути рівні та всі сторони рівні, вважається правильним і має власну назву. Наприклад, правильний п'ятикутник називається пентагон, шести - гексагон, восьмикутник - октагон, десятикутник - декагон, одинадцятикутник - гендекагон, дванадцяти - додекагон. Будь-який правильний багатокутник має своє вписане і описане коло. При цьому коло можна також представити як правильний полігон, який має нескінченну кількість кутів.

Багатокутники насправді

Неопуклі багатокутники мало поширені у житті: вони досить рідко зустрічаються у природі, а рукотворному вигляді вона виступають у ролі граней деталей машин. Багато морських організмів мають пентасиметрію, і найбільш очевидним прикладом невипуклої фігури є морська зірка.

Правильні геометричні фігури навпаки широко зустрічаються у природі. Найбільш очевидним прикладом є бджолині стільники, кожен осередок яких є гексагон. Такігексагональні осередки дозволяють маленьким трудівницям найбільш економно використовувати площу вулика, заповнюючи простір без просвітів. Крім того, багато найпростіших організмів, наприклад радіолярії, мають форму правильних полігонів.

Площа багатокутника

Площа геометричної фігури – це характеристика плоского об'єкта, що показує його розмір. Площа неопуклих багатокутників знаходиться шляхом розбиття фігури на дрібніші складові, зазвичай трикутники або квадрати. Наш онлайн-калькулятор дозволяє обчислювати площу тільки правильних багатокутників, яка визначається загальною формулою:

S = n/4 x a 2 x ctg(pi/n),

де n – кількість сторін фігури, a – довжина сторони.

Підставляючи замість n кількість сторін фігури можна отримати формулу визначення площі будь-якого правильного полігону, яка буде площа квадрата a 2 , помноженого на певний коефіцієнт. Цікаво, що зі збільшенням кількості кутів цей коефіцієнт також збільшуватиметься, наприклад, для пентагону — 1,72, а гексагону — 2,59.

Оскільки біля будь-якого правильного полігону можна описати коло або вписати його до нього, ми можемо використовувати відповідні радіуси для обчислення площ багатокутників. Сторона та радіус описаного кола для будь-якого полігону співвідносяться як:

a = R × 2 sin (pi/n),

де R – радіус описаного кола, n – кількість сторін геометричної фігури.

Для вписаного в полігон кола співвідношення трохи змінюється і виглядає як:

де r – радіус вписаного кола.

Таким чином, для визначення площі будь-якого правильного полігону вам знадобиться вказати кількість сторін n та будь-який параметр на вибір:

довжина сторони a;
радіусвписаного кола r;
радіус описаного кола R.

Розглянемо кілька прикладів для знаходження площі будь-якого багатокутника.

Приклади з життя

Бджолині соти

Бджолині стільники - унікальний природний об'єкт, який складається з безлічі гексагональних призматичних осередків. Давайте підрахуємо скільки таких шестикутників знаходиться в одних сотах. Для цього нам потрібно дізнатися загальну площу та площу одного осередку. З Вікіпедії ми знаємо, що стандартна рамка для сот має розміри 435 х 300 мм, відповідно, загальна площа становить 130 500 квадратних міліметрів. Там же зазначено, що горизонтальний діаметр одного осередку становить приблизно 5,5 мм. Горизонтальний діаметр полігону - це діаметр вписаного в нього кола, отже, ми знаємо параметр r = 2,75 мм. Таким чином, при n = 6 площа одного осередку становить:

Тепер ми можемо дізнатися загальну кількість осередків в одних стільниках, яка виражається як 130500/26,19 = 4982

Сніжинки мають форму правильного трикутника або шестикутника завдяки тому факту, що вода складається з трьох атомів і при переході з одного агрегатного стану в інший молекули води з'єднуються з іншими частинками і утворюють трикутник або гексагон. Рівносторонній трикутник — це такий самий правильний полігон, як і інші, адже він має три рівні сторони і три рівні кути. Відповідно, ми можемо визначити площу такої сніжинки, знаючи лише довжину сторони. Нехай сторона сніжинки дорівнює 8 умовним одиницям. Тоді для визначення площі нам потрібно вказати n = 3 та a = 8. Ми отримаємо результат у вигляді:

Крім площі абстрактної сніжинки, наш калькулятор порахував також радіуси вписаного та описаного кола.

Висновок

Правильний полігон - це не тількиекзотичний додекагон, а й квадрат чи рівносторонній трикутник, отже, таку фігуру ви обов'язково зустрінете у шкільних завданнях, а й у побуті, роботі й у реальної повсякденності. Використовуйте наш калькулятор для визначення площ будь-яких правильних багатокутників.