Плоска крива - це

Кривааболінія- геометричне поняття, що визначається в різних розділах геометрії по-різному.

Зміст

Елементарна геометрія

В рамках елементарної геометрії поняття кривої не отримує виразного формулювання і іноді визначається як "довжина без ширини" або як "кордон фігури". Фактично елементарної геометрії вивчення кривих зводиться до розгляду прикладів (пряма, відрізок, ламана, окружність та інших.). Не маючи загальними методами, елементарна геометрія досить глибоко проникла у вивчення властивостей конкретних кривих (конічні перерізи, деякі криві алгебри вищих порядків і також трансцендентні криві), застосовуючи в кожному випадку спеціальні прийоми.

Параметричні визначення

Найчастіше крива визначається як безперервне відображення з відрізка в простір:

При цьому криві можуть бути різними, навіть якщо їх образи збігаються. Такі криві називаютьпараметризованими кривимиабо, якщо [a,b] = [0,1] ,шляхами.

Інодікрива визначається з точністю до репараметризації, тобто з точністю до мінімального відношення еквівалентності такого, що параметричні криві

і

еквівалентні, якщо існує безперервна монотонна функція (іноді неубутня)hз відрізка [a1,b1] на відрізок [a2 ,b2] , така що

Класи еквівалентності, що визначаються цим ставленням, називаютьсянепараметризованими кривимиабо простокривими.

Крива Жордана

Кривий Жордананазиваєтьсяобразбезперервного ін'єктивного відображення кола або відрізка у простір. У разі кола крива називаєтьсязамкнутою кривою Жордана, а у разі відрізка —жорданової дугоюабопростою дугою.

Слід зазначити, що крива Жордана є досить складним об'єктом, наприклад, можливо побудувати плоску криву Жордана з ненульовим заходом Лебега.

Коментар

Існує велика спокуса визначити криву як образ безперервного відображення відрізка у простір.

Однак, можливо побудувати таке безперервне відображення відрізка в площину, що його образ заповнює квадрат, наприклад, крива Пеано. Більше того, згідно з теоремою Мазуркевича, компактний зв'язаний і локально пов'язаний топологічний простір є безперервним чином відрізка. Таким чином, не тільки квадрат, а й куб будь-якого числа вимірів і навіть гільбертів цегла є безперервними образами відрізка.

Вищевикладене показує, що крива не може бути визначена як безперервний образ відрізка, якщо відображення не накласти додаткових обмежень.

Аналітичні визначення

В аналітичній геометрії крива на площині визначається як безліч точок, координати яких задовольняють рівнянняF(x,y) = 0 . При цьому на функціюFнакладаються обмеження, які гарантують, що

  • це рівняння має нескінченну множину розбіжних рішень і,
  • це безліч рішень не заповнювало «шматка площини».

Алгебраїчні криві

Важливий клас кривих складають ті, для яких функціяF(x,y) є багаточленом від двох змінних. У цьому випадку крива, що визначається рівняннямF(x,y) = 0 називається алгебраїчною.

  • Алгебраїчні криві, що задаються рівнянням 1-го ступеня, суть прямі.
  • Рівняння 2-го ступеня, що має безліч рішень, визначаєквадрики, тобто вироджені та не зроджені конічні перерізи.
  • Приклади кривих, що задаються рівняннями третього ступеня: цисоїда Діокла, Декартов лист.
  • Приклади кривих 4-го ступеня: лемніската Бернуллі та овал Кассіні.
  • Приклад кривої, що визначається рівнянням парного ступеня: (багатофокусна) лемніскату.

Алгебраїчні криві, що визначаються рівняннями вищих ступенів, розглядаються в геометрії алгебри. При цьому більшу стрункість набуває їхня теорія, якщо розгляд ведеться на комплексній проектній площині. У цьому випадку крива алгебри визначається рівнянням виду

деF- однорідний багаточлен трьох змінних, що є проективними координатами точок.

Типи кривих

  • Плоска крива- крива, всі точки якої лежать в одній площині.
  • Проста дуга
  • Шлях- безперервне відображення відрізка [0,1] в топологічний простір.
  • Трансцендентна крива

Типи точок на кривій

Узагальнені криві

Більш загальне визначення кривої для випадку площині було дано Кантором у 1870-і роки:

Канторовою кривоюназивається компактне зв'язне підмножина площини, таке, що його доповнення всюди щільно.

Важливий приклад канторової кривої доставляє килим Серпінського. Яка б не була канторова криваL, вона може бути вкладена в килим Серпінського, тобто в килимі Серпінського міститься підмножинаL', гомеоморфнеL. Таким чином, килим Серпінського є універсальною плоскою канторовою кривою.

Згодом це визначення було узагальнено Урисона:

Кривий Урисонаназивається зв'язний компактний топологічний простірCтопологічної розмірності 1.

Килим Серпінського задовольняє це визначення, так що всяка канторова крива є також і кривою Урисона. Назад, якщо плоский зв'язковий компакт-диск є кривою Урисона, то він буде канторовою кривою.

Література

  • Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Іванов С. Ст.Курс метричної геометріїНДЦ РХД, Інститут комп'ютерних досліджень, Інст-т комп'ют. дослід., Ін-т комп.дослід., ІКІ, , ISBN 5-93972-300-4, 2004
  • Математичний енциклопедичний словник. М. «Радянська енциклопедія», 1988

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Плоска крива" в інших словниках:

ПЛОСЬКА КРИВА - крива, всі точки якої лежать в одній площині. Існують наступні аналітичні способи завдання плоскої кривої в декартових координатах: F(x, y) = 0 (неявно); y = f(x) (явно); х = ?(t), y = ?(t) (у параметричному вигляді) … Великий Енциклопедичний словник

плоска крива - крива, всі точки якої лежать в одній площині. Існують такі аналітичні способи завдання плоских кривих у декартових координатах: F(х, у) = 0 (неявно); у = f(х) (явно); х = φ(t), у = Ψ(t) (у параметричному вигляді). * * … Енциклопедичний словник

плоска крива - plokščioji kreivė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. plane curve vok. Flachkurve, f rus. плоскі криві, f pranc. courbe plane, f … Fizikos terminų žodynas

Плоска крива - крива, всі точки якої лежать в одній площині. Існують такі аналітичні способи завдання П. к.: 1) у декартових координатах: F(x, у) = 0 (у неявному вигляді), у = f(x) (у явному вигляді), х = φ(t), у = ψ(t) (у параметричному вигляді); … … Велика радянська енциклопедія

ПЛОСЬКА КРИВА —крива, всі крапки до рої лежать в одній площині. Існують слід. аналітич. способи завдання П. до. в декартових координатах: F(x, y)=0 (неявно); y = f(x) (явно); x = ф(t), y = фі(t) (у параметрич. вигляді) … Природознавство. Енциклопедичний словник

Роза (плоска крива) — Цей термін має й інші значення, див. Роза (значення). Загальний вигляд полярної троянди при різних значеннях k Троянда плоска крива, що нагадує символічне зображення колір … Вікіпедія

Гіперболу (плоска крива) - Гіперболу. Гіперболу (від грецького hyperbole перебільшення), плоска крива, різниця відстаней будь-якої точки М якої до двох даних точок F1 і F2 (фокусів) постійна. … Ілюстрований енциклопедичний словник

Жезл (плоска крива) — Цей термін має й інші значення, див. Жезл (значення). Крива „жезл“ Жезл плоска трансцендентна крива, що визначається рівнянням (в полярній атмосфері … Вікіпедія

Крива Жордана - Крива або лінія геометричне поняття, що визначається в різних розділах геометрії по-різному. Зміст 1 Елементарна геометрія 2 Параметричні визначення 3 Крива Жордана … Вікіпедія

КРИВА — (лінія), слід, залишений точкою, що рухається, або тілом. Зазвичай криву представляють лише як лінію, що плавно згинається, на зразок параболи або кола. Але математичне поняття кривої охоплює і пряму, і постаті, складені з відрізків прямих... Енциклопедія Кольєра