Похибка обчислень
У всіх випадках математична точність рішення має бути в 2-4 рази вищою, ніж очікувана фізична точність моделі. Вища математична точність, як нижча, будуть неадекватні даної моделі.
Існують чотири джерела похибки результату:
похибка математичної моделі– пов'язана з її невідповідністю фізичної реальності, оскільки абсолютна істина недосяжна. Якщо математична модель обрана недостатньо ретельно, то, які б методи ми застосовували для розрахунку, всі результати будуть недостатньо надійні, а в деяких випадках і зовсім неправильні.
похибка вихідних даних, прийнятих до розрахунку. Ценепереборна похибка, але це похибка можливо і необхідно оцінити для вибору алгоритму розрахунку та точності обчислень. Як відомо, помилки експерименту умовно поділяють на систематичні, випадкові та грубі, а ідентифікація таких помилок можлива за статистичного аналізу результатів експерименту.
похибка методу– заснована на дискретному характері будь-якого чисельного алгоритму. Це означає, що замість точного вирішення вихідної задачі метод знаходить рішення іншого завдання, близького в якомусь сенсі до шуканого. Похибка методу – основна характеристика будь-якого чисельного алгоритму. Похибка методу повинна бути в 2-5 разів менша за непереборну похибку.
похибка округлення– пов'язана з використанням у обчислювальних машинах чисел із кінцевою точністю подання.
Ось ілюстрація цих визначень. Нехай є реальний маятник, що здійснює загасаючі коливання, що починає рух у момент t =t0. Потрібно знайти кут відхиленняφвід вертикалі в моментt1. Рух маятника ми можемоописати наступним диференціальним рівнянням:
,
деl– довжина маятника,g– прискорення сили тяжіння,μ– коефіцієнт тертя.
Як тільки приймається такий опис завдання, рішення вже набуває непереборної похибки, зокрема тому, що реальне тертя залежить від швидкості не зовсім лінійно (похибка моделі). Крім того, відтворивши реальний експеримент, ми задамоl,g(у відомій точці планети),μз деякою точністю, і отримаємо набір значень з похибкою, яку можемо оцінити із аналізу статистики деякого числа однотипних дослідів (похибка вихідних даних). Взяте в моделі диференціальне рівняння не можна вирішити в явному вигляді, для його вирішення потрібно застосувати будь-який чисельний метод, що має заздалегідь відому похибку, яка повинна бути меншою від непереборної похибки. Після здійснення обчислень ми отримаємо значення з більшою похибкою, ніж похибка методу, оскільки до неї додасться похибка округлення.
Правила наближених обчислень
Наближені обчислення. Виконуючи обчислення, завжди необхідно пам'ятати про ту точність, яку потрібно або яку можна отримати. Недопустимо вести обчислення з великою точністю, якщо ці завдання не допускають або не вимагають цього (наприклад, семизначна таблиця логарифмів при обчисленнях з числами, що мають 5 вірних цифр - надмірна). Тверде знайомство з правилами наближених обчислень потрібно кожному, кому доводиться обчислювати.