Похідна, ЄДІ з математики (профільної), Теорія до завдання 7

Теорія до завдання 7 з ЄДІ з математики (профільної)

Похідної функції $y = f(x)$ в даній точці $х_0$ називають межу відношення збільшення функції до відповідного збільшення його аргументу за умови, що останнє прагне до нуля:

Диференціюванням називають операцію знаходження похідної.

Таблиця похідних деяких елементарних функцій

Функція	Похідна
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^$
$/$	$-/$
$√x$	$/$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	$/$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$/$
$ctgx$	$-/$

Основні правила диференціювання

1. Похідна суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) похідних

Знайти похідну функції $f(x)=3x^5-cosx+/$

Похідна суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) похідних.

2. Похідна твори

Знайти похідну $f(x)=4x·cosx$

3. Похідна приватного

4. Похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції на похідну внутрішньої функції

Фізичний зміст похідної

Якщо матеріальна точка рухається прямолінійно та її координата змінюється залежно від часу за законом $x(t)$, то миттєва швидкість цієї точки дорівнює похідної функції.

Точка рухається координатною прямою згідно із законом $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, де $x(t)$ — координата в момент часу $t$. У який момент часу швидкість точки дорівнюватиме $12$?

1. Швидкість – це похідна від $x(t)$, томузнайдемо похідну заданої функції

$v(t) = x'(t) = 1,5 · 2t -3 = 3t -3$

2. Щоб знайти, в який момент часу $t$ швидкість дорівнювала $12$, складемо і вирішимо рівняння:

Геометричний зміст похідної

Нагадаємо, що рівняння прямої, не паралельної до осей координат, можна записати у вигляді $y = kx + b$, де $k$ – кутовий коефіцієнт прямий. Коефіцієнт $k$ дорівнює тангенсу кута нахилу між прямим і позитивним напрямом осі $Ох$.

Похідна функції $f(x)$ у точці $х_0$ дорівнює кутовому коефіцієнту $k$ щодо графіка в даній точці:

Отже, можемо скласти загальну рівність:

На малюнку щодо функції $f(x)$ зростає, отже, коефіцієнт $k > 0$. Оскільки $k > 0$, $f'(x_0) = tgα > 0$. Кут $α$ між дотичним і позитивним напрямком $Ох$ гострий.

На малюнку, що стосується функції $f(x)$ зменшується, отже, коефіцієнт $k 0$

Для того, щоб знайти $f'(x_0)$, знайдемо тангенс кута нахилу між дотичним та позитивним напрямком осі $Ох$. Для цього добудуємо дотичну до трикутника $АВС$.

Знайдемо тангенс кута $ВАС$. (Тангенсом гострого кута у прямокутному трикутнику називається відношення протилежного катета до прилеглого катета.)

$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25 $

Похідна так само застосовується для знаходження проміжків зростання та зменшення функції:

Якщо $f'(x) > 0$ на проміжку, то функція $f(x)$ зростає у цьому проміжку.

---