ПОКАЗНИЙ ЗАКОН РОЗПОДІЛУ
Визначення. Показовим (експоненціальним) називається розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини Х, який описується щільністю
де l – позитивне число.
Знайдемо закон розподілу.
Графіки функції розподілу та щільності розподілу:
Знайдемо математичне очікування випадкової величини, підпорядкованої показовому розподілу.
Результат отримано з використанням того факту, що
Для знаходження дисперсії знайдемо величину М(Х 2).
Двічі інтегруючи частинами, аналогічно розглянутому випадку, отримаємо:
Тоді
Разом:
Видно, що у разі показового розподілу математичне очікування та середнє квадратичне відхилення рівні.
Також легко визначити і можливість потрапляння випадкової величини, підпорядкованої показовому закону розподілу, в заданий інтервал.
Показовий розподіл широко використовується теоретично надійності.
Припустимо, деякий пристрій починає працювати в момент часуt0=0, а через якийсь часtвідбувається відмова пристрою.
ПозначимоТбезперервну випадкову величину - тривалість безвідмовної роботи пристрою.
Отже, функція розподілуF(t) = P(T t) = 1 – F(t).
Визначення.Функцією надійностіR(t)називають функцію, що визначає ймовірність безвідмовної роботи пристрою протягом часуt.
Часто практично тривалість безвідмовної роботи підпорядковується показовому закону розподілу.
Взагалі кажучи, якщо розглядати новий пристрій, то ймовірність відмови на початку його функціонування буде більшою, потім кількість відмов знизиться і деякий час матиме практично одне іте саме значення. Потім (коли пристрій виробить свій ресурс) кількість відмов зростатиме.
Іншими словами, можна сказати, що функціонування пристрою протягом усього існування (у сенсі кількості відмов) можна описати комбінацією двох показових законів (на початку та наприкінці функціонування) та рівномірного закону розподілу.
Функція надійності для будь-якого пристрою при показовому законі розподілу дорівнює:
Дане співвідношення називають <показовим законом надійності .
Важливою властивістю, що дозволяє значно спростити вирішення завдань теорії надійності, є те, що ймовірність безвідмовної роботи пристрою на інтервалі часуtне залежить від часу попередньої роботи до початку розглянутого інтервалу, а залежить тільки від тривалості часуt.
Таким чином, безвідмовна робота пристрою залежить лише від інтенсивності відмов l і не залежить від безвідмовної роботи пристрою у минулому.
Так як подібну властивість має лише показовий закон розподілу, то цей факт дозволяє визначити, чи є закон розподілу випадкової величини показовим чи ні.