ПОЛІЙ КЛАСІВ ТЕОРІЯ - це
Ізоморфізм j дає також опис послідовності підгруп розгалуження в G(L/K).Так, розширенняL/Kне розгалужене тоді і тільки тоді, коли група одиниць U(К).поля Кміститься у групіN L/K(L*).У цьому випадку ізоморфізм j повністю визначається тим, що автоморфізм Фробеніуса, що породжує групу G(LlK),переходить до класу p.N L/K(L*),де p - простий елемент поляК.
Мовою когомологій груп ізоморфізм j інтерпретується як ізоморфізм між групами когомологій Тейта
та
Понад те, нехайL/K- довільне кінцеве розширення Галуа локальних полів. Тоді для будь-якого цілого n визначено каноніч. ізоморфізм j:
Якщо задана башта полів Галуа, то інфляція
зберігає інваріант (див.Брауара, група),а обмеження
множить інваріант на [L:К].Якщо -сепарабельне замикання поляК,то інваріант визначає кавонич. ізоморфізм між групою Брауера поля А'
та
У глобальній П. до. т. роль мультиплікативної групи поля відіграє група класів і дел. НехайLlK -кінцеве розширення Галуа глобальних полів, іI L. - група ідей поляL.ГрупаL*вкладається вI Lяк дискретну підгрупу (вона зв. групою головних ідей), а факторгрупаC L = I L / L *,наділена фактор топологією, зв. групою класів і дел. Доводиться, що і де n=[L : К].Існує канонич. вкладення inv: . Як і в локальній П. к. т., для будь-якого цілого визначено ізоморфізм (основний ізоморфізм глобальної П. к. т.)
Для абелева розширенняL/Кізоморфізм y 0 зводиться доізоморфізму. Нормова підгрупаN L/K(С L) однозначно визначає полеL,і навпаки, будь-яка відкрита підгрупа кінцевого індексу вС Kє нормальною підгрупою для деякого кінцевого абелева розширення L (глобальна теорема існування). Співвідношення, аналогічні (1) і (2), залишаються справедливими й у глобальних полів. ЯкщоК аb -максимальне абелево розширення поля K, то у функціональному випадку група G(K ab /K). числовому випадку група G(K ab /K]ізоморфна фактор групи групиЗ Kза зв'язковим компонентом.
Ізоморфізми jnта ynузгоджені. Якщо L/Kкінцеве розширення Галуа глобальних полів,L v -поповнення поля Lвідносно деякої точки v іК v- поповнення поля Щодо обмеження vнаК,то існує комутативна діаграма
(3)
де відображення / індуковане вкладеннямL*-I LЗ Lта кообмежуванням cores. Для n=0 (3) дає комутативну діаграму
(4)
Діаграма (4) дозволяє одержати закон розкладання простих дивізорів поля Кв абелевом розширенніL/K.Саме, дивізор з поля K не розгалужений в L (цілком розпадається в L). 5>
Якщо С - деякий простий дивізор поляК,не розгалужений вL, v -точка поля K, що відповідає с, і p - простий елемент поляK v ,то визначено символ
Артіна, що залежить тільки від с. Елемент - це автоморфізм Фробеніуса в підгрупі розкладання точкиv.Відповідно до теореми щільності Чеботарьова будь-який елемент групи G(L/K] має вигляд для нескінченного числа простих дивізорів з поляК.
напр., максимальне абелевонерозгалужене розширення числового поля К (зване гільбертовим полем класів) - це поле, нормальна підгрупа якого збігається з чином щодо проекції групи , де v пробігає всі точки поляК.Група канонічно ізоморфна групі класів дивізорів СlK- поляК,що дає важливий ізоморфізм. Зокрема, над Кнет нерозгалужених абелевих розширень тоді й лише тоді, коли поле K однокласне.
Тип розкладання простого дивізора з поля K. Fповністю визначається класом з С1 С . Цілком розпадаються в F всі головні дивізори і тільки вони. Усі дивізори поля А стають головними вF.
Подібно до того, як П. к. т. для абелевих нерозгалужених розширень можна викладати мовою групи класів дивізорів та її підгруп, можна дати характеризування будь-якого кінцевого абелева розширення поля Кв термінах групи променевих класів за деяким модулем (див.Алгебраїчна теорія чисел).Існують також узагальнення П. к. т. на випадок нескінченних розширень Галуа [4].
Хоча П. к. т. виникла як теорія абелевих розширень, її результати дають важливу інформацію і для неабелевих розширень Галуа. Напр., теоретично полів класів засновано доказ існування нескінченних веж полів класів (див. Башта полів ).
Літ.:[1] Алгебраїчна теорія чисел, пров. з англ., М. 1969; [2] Вейль А., Основи теорії чисел, пров. з англ., М. 1972; [3] Кох X., Теорія Галуа р-розширень, пров. з ним. М., 1973; [4] Кузьмін Л. В., "Ізв. АН СРСР. Сер. Матем." 1969, т. 33, ст. 6, с. 1220-54. Л. В.Кузьмін
Математична енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.