Поняття оператора лагового зсуву
Читайте також:
|
Оператор зсуву і пов'язані з ним структурні компоненти – це мова, якою описуються прогностичні моделі [3, 56, 58, 69]. Оператор зсуву, позначимо його символом L, оперує поруч, вводячи у нього запізнення (лаги), отже
і так далі. Однак у загальному випадку говоритимемо, що йдеться про використання поліномів від оператора зсуву. Поліном від оператора зсуву ступеняm- це лінійна функція різних ступенів L доm-го ступеня
Приклад полінома від оператора зсуву m-го ступеня, що оперує з рядами, наприклад, L m yt = yt - m. Добре відомий оператор різниці першого порядку D - це поліном першого ступеня від оператора зсуву: = (1 – L) yt = yt – yt – 1.
Наприклад, якщо необхідно розглянути поліном другого ступеня від оператора виду зсуву (1 + 0.78L + 0.65L 2 ), що оперує з рядом yt. Еквівалентно цю умову можна записати як рівність
яке є виваженоюсуму, або розподілений лаг, справжніх та минулих значень ряду yt.
Все раніше розглянуте відноситься до поліном кінцевого ступеня. Поліном нескінченного порядку можна записати так
B(L) = b0 + b1L + b2L 2 + … = .
Таким чином, наприклад, для подання розподіленого лага поточних та минулих обурень нескінченного порядку, можна записати
B(L) et = b0et + b1et-1 + b2et-2 + … = .
Моделі, що містять нескінченну кількість розподілених лагів, займають центральне місце у моделюванні та прогнозуванні часових рядів. Це знаходить вираження у так званій теоремі Уолда [39, 61, 74].
Багато моделей часових рядів не суперечать умовам стаціонарності. Отже, якщо ми знаємо, що ряд стаціонарний, це ще не дає чіткої відповіді на питання, який вид моделі ми можемо застосувати для опису динаміки ряду. Тренд і сезонні моделі, які ми вже вивчили, тут не застосовні, тому вони описують специфічні нестаціонарні компоненти. Досліднику необхідна відповідна модель для імітації стаціонарних залишків динамічного ряду. Теорема про подання Уолда вказує на відповідний вид моделі.
Теорема.Нехай t> буде будь-яким стаціонарним процесом з нульовим середнім, що не містить ніяких детермінованих компонентів. Тоді цей процес можна записати як
yt = B(L)et = , де et
WN(0, s 2 ), b0 = 1 і .
Інакше кажучи, моделлю для будь-якого стаціонарного ряду є нескінченно розподілений лаг білого шуму, що називається уявленням Волда. Таке уявлення ряду називається – загальним лінійним процесом. Загальним, тому що будь-який стаціонарний ряд може бути записаний у такій формі, а лінійний, тому що уявлення Волда зображує ряд у вигляділінійної комбінації його інновацій (тобто його попередніх значень).
Зважаючи на особливу важливість для прогнозування загального лінійного процесу розглянемо його умовні та безумовні моменти. Знаючи середні та дисперсії по ряду, ми можемо отримати його безумовні моменти, тобто. математичне очікування ряду
М(yt) = М = = = 0
та дисперсію ряду
D(yt) = D = =.
Умовне математичне очікування ряду визначається як
= 0 + b1et-1 + b2et-2 + ... =
та умовна дисперсія ряду
Істотним і те, що умовне середнє зміщується у часі у відповідь зміну інформаційного простору. Модель фіксує зміни процесу, і середнє, що змінюється – це один із способів інтегрувати ці зміни. p align="justify"> Важлива мета при моделюванні часових рядів, особливо для прогнозистів, - це вловити динаміку умовного середнього (т.к. безумовне середнє постійно, це одна з ознак стаціонарності ряду), а умовне середнє змінюється у відповідь на еволюцію вихідного інформаційного простору.