Поширення інтеграла на довільні обмежені фігури
Зміст
Деякі визначення [ред.]
| Визначення: |
| Фігураобмежена, якщо її можна помістити в деякий кінцевий прямокутник. |
Будемо розглядати інтеграл нафігурі[math]E \subset \mathbb^2[/math] від функції [math]z = f(x, y)[/math]
[math]\bar f(x, y) = \beginf(x, y) , & (x, y) \in E \\0 , & (x, y) \notin E \\\end[/math]
[math]\forall \Pi \supset E[/math] , [math]\iint\limits_E f = \iint\limits_\Pi \bar f[/math]
Це легко перевірити на основі адитивності інтеграла по прямокутнику.
Квадрованість [ред.]
| Визначення: |
| [math]E \subset \mathbb^2[/math]квадрована по Жордану, якщо існує [math]\iint\limits_E 1[/math] . Значення цього інтеграла називається 'площею фігури'. |
Далі ми встановимо квадрування деяких фігур.
| Твердження: |
| Визначення: |
| Крива [math]\Gamma[/math] - Жорданова дуга, якщо вона не має самоперетинів, і її параметричні рівняння - безперервні функції. |
| Лемма (Жордан): |
| Будь-яка замкнута жорданова дуга розбиває площину на дві частини: обмежену - "внутрішню" і необмежену - "зовнішню". |
| Теорема: |
Для доказу треба занурити фігуру прямокутник і довести, що інтеграл у ньому від функції, рівної [math]1[/math] всередині фігури і [math]0[/math] поза фігури, існує. І тому треба показати, що [math]\omega(f, \tau) \to 0[/math] .
Нехай [math]\Pi_[/math] - розбиття [math]\Pi[/math].
Розділимо всі клітини на три групи.
- [math]1 : \Pi_ \subset E[/math] (внутрішні)
- [math]2 : \Pi_ \not\subset E[/math] (зовнішні)
- [math] 3 [/math] - інші (перетинають)
Позначимо за [math]\Sigma_1[/math] , [math]\Sigma_2[/math] і [math]\Sigma_3[/math] суми різниць сум Дарбу для першої, другої та третьої груп відповідно.
Очевидно, кожна клітина потрапить рівно одну з цих груп.
Тоді [math]\omega(\bar f, \tau) = \Sigma_1 + \Sigma_2 + \Sigma_3[/math]
На клітинах першої групи [math] bar f = 1 [/ math] [ math] \ Rightarrow [/ math] [ math] \ Sigma_1 = 0 [/ math] .
На клітинах другої групи [math] bar f = 0 [/ math] [ math] \ Rightarrow [/ math] [ math] \ Sigma_2 = 0 [/ math] .
У третій групі [math]\sup\bar f = 1[/math] , [math]\inf\bar f = 0[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\Sigma_3 = \sum\ limits_ \Delta x_i \Delta y_j[/math] , де [math]\Pi_[/math] - у третій групі.
[math]\Delta x_i \Delta y_j \leq \frac12(\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2)[/math]
За визначенням рангу, враховуючи, що ранг — довжина діагоналі клітини,
[math]\omega(\bar f, \tau) \leq \frac12\operatorname \tau \cdot \sum\limits_ \sqrt[/math] .
Але дуга спрямовується, тобто має кінцеву довжину, тому написана сума обмежена.
Тоді [math]\operatorname\tau \to 0 \Rightarrow \omega(\bar f, \tau) \to 0[/math]
З цієї теореми миттєво отримуємо, що трикутники, кола та інші елементарні фігури квадрувані, тому що їх межі — дуги, що спрямовуються.
Неквадровані фігури [ред.]
Виникає питання: "ачи взагалі неквадрируемые фігури?". Легко зрозуміти, що вони є. Побудуємо аналог функції Діріхле.
Потрібно взяти прямокутник і залишити ті точки, координати яких раціональні. Ця фігура площі немає, бо кожної точки знайдеться точка поруч із нею така, що хоча одна з її координат буде ірраціональна. Тому, при побудові розбиття, нижня сума буде нульовою, а верхня дорівнюватиме [math]S[/math] . Інтеграла немає, постать не квадрована.
Квадрування компакту [ ред .
Маючи поняття квадрованості, можна писати умови існування інтеграла вже через функцію [math] f [/ math].
| Теорема: |
Функція безперервна на компакт [math]\Rightarrow[/math] рівномірно безперервна.
Візьмемо якийсь [math]\Pi\supset E[/math] і складемо для нього розбиття і [math]\omega(\bar f, \tau)[/math].
Потрібно показати, що тоді [math]\omega(\bar f, \tau) \to 0[/math] .
Аналогічно доведенню квадрованості фігури, розіб'ємо всі клітини на три типи: [math]\Sigma_1[/math] (всередині), [math]\Sigma_2[/math] (перетинають) і [math]\Sigma_3[/math] (поза) .
Друга сума оцінюється рахунок того, що функція обмежена: [math]\Sigma_2 \leq 2 \cdot [/math] довжину кордону [math] \cdot M[/math] . При [math]\operatorname\tau \to 0[/math] це прагне нуля.
Оцінимо [math]\Sigma_1[/math] . З рівномірної безперервності [math]M_ - m_ \lt \varepsilon[/math] .
Сума ж площ клітин не перевершить [math] \ Pi [/ math]. Тоді [math]\Sigma_1 \lt \varepsilon \Pi \to 0[/math] .
Значить, [math] \ omega ( bar f, \tau) \ to 0 [/ math] .
Адитивність [ред.]
| Теорема (адитивність): |
| Доказ: |
| [math]\triangleright[/math] |
Покажемо, що адитивність виводиться з лінійності інтеграла прямокутником. [math]E = E_1 \cup E_2[/math] , все квадрується. [math]\iint\limits_ f = \iint\limits_ f[/math] , [math]\iint\limits_ f = \iint\limits_ f[/math] Нехай [math]\Pi\supset E[/math] . Тоді цей [math]\Pi[/math] годиться обох інтегралів. Слід звернути увагу, що [math]\bar f[/math] для [math]E_1[/math] і [math]\bar f[/math] для [math]E_2[/math] — різні функції. Наприклад, перша їх на [math]E_2[/math] дорівнює нулю, оскільки [math]E_1 \cap E_2 = \varnothing[/math] . Визначимо [math] bar f_1 [/math] і [math] bar f_2 [/math] . [math]\bar f_1(x, y) = \beginf(x, y) & , (x, y) \in E_1\\0 & , (x, y) \notin E_1\\end[/math] Аналогічно визначимо [math] bar f_2 [/math] . Тоді [math]\iint\limits_ f = \iint\limits_\Pi \bar f_1[/math] , [math]\iint\limits_ f = \iint\limits_\Pi \bar f_2[/math] . Складемо останні дві рівності: [math]\iint\limits_ f + \iint\limits_ f = \iint\limits_\Pi (\bar f_1 + \bar f_2)[/math] Зауважимо, що [math] bar f_1 + bar f_2 = bar f [/math] . Це перевіряється простим розглядом точки всередині [math]E_1[/math] , всередині [math]E_2[/math] і поза [math]E_1[/math] і [math]E_2[/math] . Значить, [math] iint limits_Pi (bar f_1 + bar f_2) = iint limits_pi bar f = iint limits_E f [/ math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
Примітка [ред.]
Насправді, часто, маючи на увазі випадок, що розглядається,починають говорити про так звані 'фінітні' функції, тобто функції, які поза якимось прямокутником дорівнюють нулю. Їхня перевага в тому, що вони задані на всій площині. Тоді, [math]\iint\limits_^2> f = \iint\limits_\Pi f[/math] . Тоді все можна виводити з лінійності інтегралу.
Узагальнення [ред.]
Узагальним попередню теорему у разі [math]p[/math] частин.
Нехай [math]E = \bigcup\limits_^p E_j \Rightarrow \iint\limits_E f = \sum\limits_^p \iint\limits_ f[/math] і [math]E_j = \iint\limits_ dx dy[/ math] - площа.
Розглянемо аналог інтегральної суми:
[math]\sum\limits_^p f(P_j) \cdot E_j[/math] , [math]P_j \in E_j[/math] .
Далі можна називати сукупність таких частин розбиттям [math]E[/math] , виміряти максимальний діаметр, назвати це рангом, спрямувати його до нуля і ставити питання про межу таких сум, яка не повинна залежати від вибору [math]P_j[/math] .
Відмінність цієї суми від суми прямокутника, що містить [math]E[/math] полягає в тому, що ця сума описана у внутрішніх термінах (зовні від фігури немає нуля). Здоровий глузд підказує, що межею таких сум і буде шуканий інтеграл.
Якщо, наприклад, вимагати рівномірної безперервності функції [math]E[/math] , це можна порівнювати з сумою інтегралів частинами фігури.
[math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 : p'' - p' \lt \delta \Rightarrow f(p'') - f(p') \lt \varepsilon[/math ]
[math]\operatorname\tau \lt \delta[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\operatorname E_j \lt \delta[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math] \forall p'', p' \in E_j : p'' - p' \lt \delta[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]f(p'') - f(p') \lt \varepsilon[/math]
[math]\left\sum\limits_^p \iint\limits_ f - \sum\limits_^p f(P_j)\cdotE_j \right \leq[/math] [math]\sum\limits_^p \iint\limits_ f (P) - f(P_j) dx dy \leq[/math] [math]\varepsilon \sum\limits_^p E_j = \varepsilon E \to 0[/math]
Сума інтегралів [math]=[/math] інтеграл за фігурою [math]\Rightarrow[/math] [math]\iint\limits_E f = \lim\limits_\tau \to 0> \sum\limits_^p f(P_j) \cdot E_j[/math] .