Постійна Больцмана

Для постійної, пов'язаної з енергією випромінювання чорного тіла, дивись Постійна Стефана-Больцмана

Постійна Больцмана($k$ або $k_$) - фізична постійна, що визначає зв'язок між температурою речовини та енергією теплового руху частинок цієї речовини. Названа на честь австрійського фізика Людвіга Больцмана, який зробив великий внесок у статистичну фізику, в якій ця стала грає ключову роль. Її експериментальне значення у системі СІ дорівнює $$k=1380\,650\,4(24)\times 10^$$Дж/К.

У таблиці останні цифри у круглих дужках вказують стандартну похибку постійного значення. У принципі, постійна Больцмана може бути отримана з визначення абсолютної температури та інших постійних фізичних. Однак точне обчислення постійної Больцмана за допомогою основних принципів надто складне та нездійсненне за сучасного рівня знань.

Експериментально постійну Больцмана можна визначити за допомогою закону теплового випромінювання Планка, що описує розподіл енергії у спектрі рівноважного випромінювання за певної температури випромінюючого тіла, а також іншими методами.

N_\), з якої випливає значення постійної Больцмана: $$

Розмірність постійної Больцмана така сама, як і в ентропії.

Зміст

У 1877 р. Больцман вперше пов'язав між собою ентропію і можливість, проте досить точне значення постійноїkяк коефіцієнта зв'язку у формулі для ентропії виникло лише у працях М. Планка. При виведенні закону випромінювання чорного тіла Планк у 1900–1901 роках. для постійної Больцмана знайшов значення 1,346 • 10 −23 Дж/K, майже на 2,5% менше від прийнятого в даний час. [2]

До 1900 р. співвідношення, які зараз записуються з постійної Больцмана, писалися за допомогою газовоїпостійноїR, а замість середньої енергії однією молекулу використовувалася загальна енергія речовини. Лаконічна формула видуS=klogWна бюсті Больцмана стала такою завдяки Планку. У своїй нобелівській лекції 1920 р. Планк писав: [3]

Ця константа часто називається постійною Больцмана, хоча, наскільки я знаю, сам Больцман ніколи не вводив її — дивний стан справ, при тому, що у висловлюваннях Больцмана не йшлося про точний вимір цієї константи.

Така ситуація може бути пояснена проведенням на той час наукових дебатів щодо з'ясування сутності атомної будови речовини. У другій половині 19 століття існували значні розбіжності щодо того, чи є атоми і молекули реальними, чи лише зручний спосіб опису явищ. Не було єдності і в тому, чи є "хімічні молекули", що розрізняються за їхньою атомною масою, тими самими молекулами, що і в кінетичній теорії. Далі в нобелівській лекції Планка можна знайти таке: [3]

Ніщо не може краще продемонструвати позитивну і прискорювану швидкість прогресу, ніж мистецтво експерименту за останні двадцять років, коли було відкрито відразу безліч методів виміру маси молекул практично з тією ж точністю, що й вимір маси якоїсь планети.

У даній рівності можна зробити заміну (

R = k N_). Тоді газовий закон виражатиметься через постійну Больцмана і кількість молекулNв обсязі газуV: $$

В однорідному ідеальному газі, що знаходиться при абсолютній температурі (T), енергія, що припадає на кожний поступальний ступінь свободи, дорівнює, як випливає з розподілу Максвелла, (kT/2). При кімнатній температурі (≈ 300 K) ця енергія становить $207\times 10^$ Дж, або 0,013 еВ.

Співвідношення газової термодинаміки

В одноатомному ідеальному газі кожен атом має три ступені свободи, що відповідають трьом просторовим осям, що означає, що на кожен атом припадає енергія (3 kT /2). Це добре узгоджується з експериментальними даними. Знаючи теплову енергію, можна обчислити середньоквадратичну швидкість атомів, яка обернено пропорційна квадратному кореню з атомної маси. Середньоквадратична швидкість за кімнатної температури змінюється від 1370 м/с для гелію до 240 м/с для ксенону.

Кінетична теорія дає формулу для середнього тискуPідеального газу: $$

P = \frac\frac m >.$$ Враховуючи, що середня кінетична енергія прямолінійного руху дорівнює: $$

\fracm \overline = \frac k T,$$ знаходимо рівняння стану ідеального газу: $$

Це співвідношення непогано виконується й у молекулярних газів; однак залежність теплоємності змінюється, оскільки молекули можуть мати додаткові внутрішні ступеня свободи по відношенню до тих ступенів свободи, які пов'язані з рухом молекул у просторі. Наприклад, двоатомний газ має вже приблизно п'ять ступенів волі.

У загальному випадку система в рівновазі з тепловим резервуаром при температуріTмає можливістьpзайняти стан з енергієюE, що може бути записано за допомогою відповідного експоненційного множника Больцмана: $$

p \propto \exp\left(-\frac\right).$$ У цьому виразі фігурує величинаkTз розмірністю енергії.

Обчислення ймовірності використовується не тільки для розрахунків у кінетичній теорії ідеальних газів, але і в інших областях, наприклад, у хімічній кінетиці в рівнянні Арреніуса.

ЕнтропіяSізольованої термодинамічної системитермодинамічній рівновазі визначається через натуральний логарифм від кількості різних мікростанів $W$, відповідних даному макроскопічному стану (наприклад, стану із заданою повною енергієюE): $$

S=k \ln W.$$ Коефіцієнт пропорційності $k$ є постійною Больцмана. Цей вираз, що визначає зв'язок між мікроскопічними та макроскопічними станами (через $W$ та ентропію $S$ відповідно), висловлює центральну ідею статистичної механіки і є головним відкриттям Больцмана.

У класичній термодинаміці використовується вираз Клаузіуса для ентропії: $$

Таким чином, поява постійної Больцманаkможна розглядати як наслідок зв'язку між термодинамічним та статистичним визначенням ентропії.

Ентропію можна виразити в одиницяхk, що дає таке: $$

У таких одиницях ентропія відповідає інформаційної ентропії.

Характерна енергіяkTдорівнює кількості теплоти, необхідному для збільшення ентропії (S^\) на один нат.

На відміну від інших речовин, у напівпровідниках існує сильна залежність електропровідності від температури: $$

\sigma= \sigma_0 \exp (-E_A /kT),$$

де множник (sigma_0) досить слабо залежить від температури порівняно з експонентою, (E_A) - енергія активації провідності. Щільність електронів провідності також експонентно залежить від температури. Для струму через напівпровідниковий p-n-перехід замість енергії активації розглядають характерну енергію даного p-n переходу при температуріTяк характерну енергію електрона в електричному полі: $$

де $q$ - елементарний електричний заряд, а $V_T$ є теплова напруга, яка залежить від температури.

Дане співвідношення є основою для вираження постійної Больцмана в одиницях еВ • К -1. При кімнатній температурі (300 K) значення теплової напруги близько 25,85 мілівольт 26 мВ.

У класичній теорії часто використовують формулу, згідно з якою ефективна швидкість носіїв заряду в речовині дорівнює добутку рухливості носіїв на напруженість електричного поля. В іншій формулі щільність потоку носіїв пов'язується з коефіцієнтом дифузії $D$ та з градієнтом концентрації носіїв $n$: $$

Відповідно до співвідношення Ейнштейна-Смолуховського, коефіцієнт дифузії пов'язаний із рухливістю: $$

Постійна Больцманаkвходить також до закону Відемана-Франца, за яким відношення коефіцієнта теплопровідності до коефіцієнта електропровідності в металах пропорційно температурі та квадрату відношення постійної Больцмана до електричного заряду.

Для розмежування температурних областей, в яких поведінка речовини описується квантовими або класичними методами, служить температура Дебая: $$

Q_D = \hbar \omega_D /k,$$ де $ \hbar $ – постійна Дірака, $ \omega_D =u \sqrt[3] $ є гранична частота пружних коливань кристалічних ґрат, $ u $ – швидкість звуку в твердому тілі, (n) - концентрація атомів.

При температурах нижче (Q_D) потрібно використовувати квантову статистику. Якщо температури вище $ Q_D $, то теплова енергія (порядкуkT) перевищує характерну енергію коливань решітки і система може бути описана формулами класичної статистичної механіки.

Постійна Больцмана входить у формулу Найквіста, що визначає середній квадрат шумової напруги в електричному ланцюзі з опоромRв смузі частот (Delta \nu\) при температуріT. У класичному наближенні формула для теплового шуму має вигляд $$$

\bar = 4 R k T \Delta \nu .$$

У планківській системі природних одиниць постійна Больцмана дорівнює 1. Це дає $$

E = \frac $$ як середню кінетичну енергію газової молекули однією ступінь свободи; при цьому визначення термодинамічної ентропії збігається з визначенням інформаційної ентропії: $$

S = - \sum p_i \ln p_i.$$

Планківська одиниця температури дорівнює 1,416 785(71) • 10 32 К, відповідаючи енергії спокою планківської маси.

З погляду теорії нескінченної вкладеності матерії, постійна Больцмана є характеристикою лише одного, саме атомного рівня матерії. Як показує аналіз природних одиниць вимірювання фізичних величин, при використанні замість температурної шкали шкали теплової енергії, що міститься в одиниці кількості речовини, Больцмана стає зайвою. Звідси випливає, що при використанні температури як фізичної величини на певному масштабному рівні матерії необхідно перераховувати значення постійної Больцмана для цього рівня матерії за допомогою відповідних коефіцієнтів подібності. Теоретичною основою цієї процедури є SPФ-симетрія.

Для рівня зірок аналогічно зоряної постійної Планка, що задає характерний момент імпульсу типових зоряних об'єктів, утворюється зоряна постійна Больцмана. Її значення дорівнюєKps =k∙Ф= 9,187∙10 32 Дж/К, деФ- коефіцієнт подібності за масою. [4] Зоряна постійна Больцмана визначає зв'язок між ефективною температурою сукупності типових зоряних об'єктів як заходи теплової енергії, та середньою кінетичною енергією руху в розрахунку на один зірковий об'єкт. Крім цього, вона пов'язує внутрішнютемпературу зоряних об'єктів з внутрішньою енергією речовини цих об'єктів. Аналогічні постійні можна обчислити кожному за масштабного рівня матерії. Отже, звичайна стала Больцмана не тільки дозволяє оцінити кінетичну температуру частинок речовини за відомою енергії цієї речовини, але і дає можливість знайти температуру речовини всередині самих частинок, наприклад, всередині нуклону.