Потрапити в ДРОБИ» 1980Сухотін А
«ПОТРАПТИ В ДРОБІ»
Плідність загальної теорії, що несе економію уявних витрат, виявляє себе також у таких проявах. Історія науки показує, що з часом багато важких для своєї епохи завдання на новому витку пізнання вирішуються самі собою, без докладання особливих до того зусиль. Для цього не треба навіть робити якихось спеціальних досліджень. Тобто їх рішення виявляються лише окремими випадками якоїсь спільної теми, успіх у вивченні якої приносить відповіді і на масу інших конкретних тем. Деякі з них встигли добряче помучити науку, а про інших вона навіть не здогадувалася.
Тут взагалі простягається ниточка ще до одного феномена. Він називається «принцип корисності марного знання». Але ми не розвиватимемо цю лінію докладно, відзначимо лише деякі моменти.
Дуже часто обстановка в науці вимагає піднятися над конкретними, надто заземленими завданнями та випробувати сили на більш глибоких загальних напрямках, хоча вони не обіцяють негайних віддач. Нехай вони видаються відчуженими від практики життя, але нерідко на цьому шляху виходять такі результати, на основі яких можна вирішувати безліч приватних питань.
Типове становище у сучасної науці у зв'язку з вивченням космосу.
Знайдеться чимало людей, які щиро сумніваються у необхідності таких широких космічних досліджень. Але річ не лише в тому, що такі дослідження розсувають горизонти наших пізнавальних можливостей. Є в цьому великий практичний інтерес.
Виявляється, що рішення пов'язаних із освоєнням космосу завдань принесло людині чимало таких знань, які можуть бути використані і вже експлуатуються у виробництві та побуті. Скажімо, створення штучних біологічних циклів, високоекономічних системжиттєзабезпечення або установок, що ефективно використовують енергію Сонця. Усе це народилося спочатку не Землі, а обслуговування космічних польотів. Проте результатами зацікавились і з метою застосування у промисловості.
Одним словом, космонавтика, висуваючись як один з факторів вирішення абстрактних пізнавальних проблем, виявилася сповненою гарних ідей, використовуючи які можна знаходити відповіді на багато наших приватних питань.
Перехід до більш загального знання, до загальної теорії несе ще й перевагу, що полегшує вирішення вже вирішених завдань, оскільки пропонує ефективніший спосіб отримання результату. Це переконливо підтверджується, наприклад, досвідом математичного пізнання. Виявляється, що ті завдання, які колись були складними і для вирішення яких використовувався громіздкий апарат обчислень та доказів, у світлі пізніших завоювань виконується легше, з набагато меншою тратою сил. Ми зобов'язані цим створення загальних ефективних теорій, методів алгоритмів.
Дві маленькі ілюстрації. Відповідно до статуту середньовічних університетів претендент на звання магістра був зобов'язаний довести. теорему Піфагора. То був своєрідний кандидатський іспит (настільки складним був тоді доказ цієї теореми). Нині він замінений випробуванням за теоретичним курсом, а з колишнім тестом без особливих зусиль справляється учень шостого класу, тому що в його розпорядженні більш досконалий алгоритм доказу, що спирається на сучасні математичні теорії.
З глибини середньовіччя надійшло таке передання. Німецький купець питав поради, де вчити сина. Йому відповіли. Якщо хочете, щоб син знав додавання, віднімання та множення, цьому можуть навчити і у нас у Німеччині. Але щоб він знав також і поділ, краще послати його вІталію. Тамтешні професори добре вивчили цю операцію.
Як бачимо, навіть прості дії арифметики були досить складними. Від тих часів у німців залишилася приказка in die Bruche kommen (буквально: потрапити в дроби). Це означало опинитися у скрутному становищі, у яке потрапляли, проводячи поділ. Нині такі операції на основі іншої, арабської системи позначення чисел та інших алгоритмів стали значно легшими.
Перехід до спільної позиції дозволяє не тільки замінити одне завдання інше, легше. Тут важливе й інше: одночасно з узагальненням досягається спрощення у постановці проблеми.
Це тому, що сходження до абстрактно-общому зобов'язує розлучитися з безліччю подробиць, здатних захопити думку лабіринти тупикових рішень. Можна залучити такий образ. Ми стартуємо із Землі (конкретне завдання) і, скинувши баласт зайвої інформації, прямуємо на крилах абстракції у надхмарні висоти. А тут, у розрідженій атмосфері, дослідження стає легшим. Що менше вихідних параметрів обтяжує думку вченого, то швидше він схопить сенс проблеми. Повчальний випадок описаний відомим сучасним ученим У. Сойєром у книзі «Прелюдії до математики».
У 1868 році французький дослідник М. Гордан шляхом громіздких обчислень довів, що група багаточленів (мова йде про один спеціальний клас багаточленів) має певну властивість. Але через 22 роки Д. Гільберт той же результат отримав набагато простіше, по суті не вдаючись навіть до обчислень. Більше того, нове рішення справедливе не лише для згаданого вузького класу, а й для будь-яких багаточленів взагалі. А найпримітніше, що це вдалося Д. Гільберту тому, що він відкинув 90 відсотків інформації, використаної М. Горданом.
Мабуть,що небезпідставно розкритикували шкільні задачники, у яких традиційні безликі «продавці», «покупці», або навіть просто «хтось» витіснені персонажами і об'єктами, наділеними власними іменами. Вже не пишуть: «З пункту А до пункту Б вийшов поїзд», але «Від залізничної станції Борисово до міста Бориспіль відійшов туристичний поїзд «Ялинка».
Укладачі впевнені, що так учневі легше. Адже конкретність наближає до повсякденних звичних відносин, наповнює суху умову фарбами життя. Тим часом усе обертається інакше. Конкретизація руйнує принцип абстрактного міркування, який має прищеплювати навички логічного мислення. Втрачається вміння схоплювати структуру тексту, спрощувати його розуміння, а водночас і вміння вирішувати пізнавальні завдання.
Звісно, є різні люди. В одних більше розвинене абстрактне мислення, в інших – конкретне. Крім того, виразно позначається вплив віку. Тут не час докладно обговорювати цю тему. Зазначимо лише одну дивність.
У ряді випадків те, що наукою відкрито пізніше і є досить глибоким, абстрактним, освоюється легше, ніж раніше, отже, здавалося б, більш доступні сприйняття завоювання думки.
У своєму історичному розвитку геометрія розкрила спочатку порівняно конкретні, що лежать на увазі властивості простору і лише найглибші.
Найпершими ще в античні часи виявились виділеними метричні властивості. Вони пов'язані з виміром і мають особливість, що з русі фігур зберігаються. Стілець, наприклад, при будь-яких переміщеннях, поворотах залишається випорожненням. Або, якщо переміщатимемо відрізок прямий, що дорівнює 10 сантиметрам, його довжина так і буде 10 сантиметрів; збережуться також відстані міжточками цього відрізка.
Потім було виявлено інші, глибші особливості простору.
Скажімо, якщо той самий відрізок піддати рівномірному стиску чи розтягуванню, його розміри, відстані між точками, звісно, зміняться, отже, метричні властивості не збережуться. Але ж щось залишається незмінним? І середина відрізка. Наприклад, незалежно від цього, розтягуємо ми його чи стискаємо, середина однаково залишається серединою, як і 1/3 відрізка буде у своїй 1/3 тощо.
Ці ознаки називають афінними.
Виявлено також проективні та інші особливості фігур. Нарешті, вже у другій половині ХІХ століття зуміли підійти до таких характеристик простору, як топологічні, найглибше «заховані» природою і тому потребували особливо сильних абстракцій і абстракцій.
Топологічні властивості залежить від розмірів (довжин, кутів, площ), від прямолінійності. Допускаються будь-які перетворення фігур, аби при цьому вони зберігали безперервність. Скажімо, коло можна як завгодно викривити, розтягнути або, навпаки, «зім'яти» в грудку та інше, але топологічно вона залишиться все тією ж фігурою. Її не можна лише розривати. Тому топологічну геометрію називають «якісною».
Проте найдивовижніше, найпарадоксальніше виявилося в тому, що діти опановують топологічні ознаки легше, ніж інші геометричні властивості. Тобто абстрактне виявляється доступнішим розумінню, ніж конкретне.
А чи не про це говорить і досвід навчання у сучасній початковій школі? Тепер воно починається не з конкретного, яким є арифметика, а з абстрактного – з математики взагалі. Першими вивчають не числа, а відносини між сукупностями: "більше", "менше", "рівно".