Правильний багатокутник
Правильний багатокутник- це опуклий багатокутник, у якого всі сторони між собою рівні і всі кути між суміжними сторонами рівні.
Визначенняправильного багатокутникаможе залежати від визначення багатокутника: якщо він визначений як плоска замкнута ламана, то з'являється визначенняправильного зірчастого багатокутникаякневипуклогобагатокутника, у якого всі сторони між собою рівні та всі кути між собою рівні.
Зміст
Координати
Нехай R - радіус описаного навколо правильного багатокутника кола, тоді радіус вписаного кола дорівнює
а довжина сторони багатокутника дорівнює
Площа правильного багатокутника з числом сторін n дорівнює
Правильними багатокутниками за визначенням є межі правильних багатогранників.
Давньогрецькі математики (Антифонт, Брісон Гераклейський, Архімед та ін) використовували правильні багатокутники для обчислення числа π. Вони обчислювали площі вписаних у коло і описаних навколо неї багатокутників, поступово збільшуючи їх сторін і отримуючи в такий спосіб оцінку площі кола. [1]
Побудова правильного багатокутника з сторонами залишалася проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова ідентична поділу кола наnрівних частин, так як з'єднавши між собою точки, що ділять коло на частини, можна отримати багатокутник, що шукається.
Евклід у своїх «Початках» займався побудовою правильних багатокутників у книзі IV, вирішуючи завдання для n = 3, 4, 5, 6, 15. Крім цього, він уже визначив перший критерій побудови багатокутників: хоча цей критерій і не був озвучений у «Початках» », давньогрецькі математики вміли побудувати багатокутник з 2mсторонами (при ціломуm> 1), маючи вже побудований багатокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись умінням розбиття дуги на дві частини, двох півкола ми будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Крім цього, в тій же книзі Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати багатокутники зrіsсторонами, іrіsвзаємно прості, можна побудувати і багатокутник зr · sсторонами. Що досягається побудовою багатокутника з сторонами і багатокутника з сторонами так, щоб вони були вписані в одне коло, і щоб одна вершина у них була спільною. Синтезуючи ці два способи, можна дійти висновку, що стародавні математики вміли будувати правильні багатокутники з 2 m ⋅ p 1 k 1 ⋅ p 2 k 2 \cdot >^>\cdot >^>> сторонами, деm— ціле невід'ємне число, p 1 , p 2 >,>> - Числа 3 і 5, а k 1, k 2 >,>> приймають значення 0 чи 1.
Середньовічна математика майже не просунулась у цьому питанні. Лише 1796 року Карлу Фрідріху Гауссу вдалося довести, що й кількість сторін правильного багатокутника дорівнює простому числу Ферма, його можна побудувати з допомогою циркуля і лінійки. На сьогоднішній день відомі такі прості числа Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537. Питання про наявність чи відсутність інших таких чисел залишається відкритим. Якщо брати загалом, з цього випливає, що правильний багатокутник можна побудувати, якщо число його сторін дорівнює 2 k 0 p 1 k 1 p 2 k 2 ⋯ p s k s>>^>>^>\cdots >^ >> де k 0 >> — ціле невід'ємне число, k 1 , k 2 , … , k s >,>,\dots ,>> приймають значення 0 або 1, аp j >— прості числа Ферма.
Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але й необхідною, але вперше це було доведено П'єром-Лораном Ванцелем у 1836 році.
Точку у справі побудови правильних багатокутників поставило знаходження побудов 17-, 257- та 65537-кутника. Перше було знайдено Йоханнесом Ерхінгером у 1825 році, друге — Фрідріхом Юліусом Рішело у 1832 році, а останнє — Йоганном Густавом Гермесом у 1894 році.
З того часу проблема вважається повністю вирішеною.