Презентація на тему Логарифми
Подібні презентації
1 Логарифми. Навіщо вивчають сьогодні логарифми? Вчитель математики МОУ «Красноуральська ЗОШ» Даньшина О.В.
2 Сьома математична дія. Ми всі знайомі з основними арифметичними діями: додаванням, відніманням, множенням та поділом. П'ятою арифметичною дією є зведення у ступінь. Зведення в ступінь має дві зворотні дії: якщо a b = c, озведення то розшук а є одна зворотна дія-витяг кореня; то пошук а є одна зворотна дія -витяг кореня; знаходження ж b інше, логарифмування знаходження ж b інше, логарифмування
3 Логарифми з'явилися у ХVI ст. під впливом все зростаючих потреб практики як спрощення обчислень. Логарифми з'явилися у ХVI ст. під впливом все зростаючих потреб практики як спрощення обчислень. Чи потрібні вони сьогодні, коли обчислювальна техніка досить розвинена, щоб долати найскладніші розрахунки? То навіщо вивчають логарифми сьогодні?
4 З історії логарифмів Винахід логарифмів XVII в. тісно пов'язане з розвитком у XVI столітті виробництва та торгівлі, астрономії та мореплавання, які вимагали удосконалення методів обчислювальної математики. Все частіше потрібно виробляти громіздкі дії над багатозначними числами, дедалі точнішими повинні бути результати дій. Найбільші проблеми виникали, як неважко зрозуміти, при виконанні операцій множення та поділу.
5 Ось тоді і знайшла втілення ідея логарифмів, цінність яких полягає у зведенні складних дій зведення в ступінь і вилучення кореня до більш простих дій - множення і поділу, а останніх до - найпростіших - додавання і віднімання. Тому відкриття логарифмів, що зводить множення та розподілчисел до складання та віднімання їх логарифмів, подовжило, за висловом Лапласа, життя обчислювачів. Ось тоді і знайшла втілення ідея логарифмів, цінність яких полягає у зведенні складних дій зведення в ступінь і вилучення кореня до більш простих дій - множення та поділу, а останніх до - найпростіших - додавання та віднімання. Тому відкриття логарифмів, що зводить множення та розподіл чисел до складання та віднімання їх логарифмів, подовжило, за словами Лапласа, життя обчислювачів.
6 Логарифми надзвичайно швидко увійшли до практики. Винахідники логарифмів не обмежилися розробкою нової теорії. Було створено практичний засіб таблиці логарифмів, який різко підвищив продуктивність праці обчислювачів. Вже 1623 р., т. е. через 9 років після видання перших, таблиць, англійським математиком Д. Гантером було винайдено перша логарифмічна лінійка, що стала робочим інструментом багатьом поколінь.
7 Перші таблиці логарифмів складені незалежно одна від одної шотландським математиком Дж. Непером ( ) та швейцарцем І. Бюргі ( ). У таблиці Непера, видані в книгах під назвами «Опис дивовижної таблиці логарифмів» (1614 р.) та «Пристрій дивовижної таблиці логарифмів» (1619 р.), увійшли значення логарифмів синусів, косінусів та тангенсів для кутів від 0 до 90 за 1 хвилину. Дж. Непером ( ) Дж. Непером ( )
8 Бюрги підготував свої таблиці логарифмів чисел до 1610 р., але побачили світ вони у 1620 р., вже після видання таблиць Непера, і тому залишилися непоміченими. Одна з важливих ідей, що лежать в основі винаходу логарифмів, була відома. Штифель ( ) - і ряд інших математиків звернули увагу на те, що множення та поділ членів геометричної прогресії. а-3, а-2, а-1,1, а, а2, а3. відповідають додавання та відніманняпоказників, що утворюють арифметичну прогресію 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3.
9 Але однієї цієї ідеї недостатньо. Наприклад, «мережа» цілих ступенів числа 2 дуже рідкісна; багато чисел «залишаються без логарифмів», тому необхідна була ще одна ідея: зводити в ступінь числа, дуже близькі до одиниці. Помітивши, що ступеня (1+1/10n) n і (1+1/10n) n - 1 при великих значеннях n близькі, Непер і Бюрги прийняли аналогічне рішення: Непер брав як основу число (1 1/107), а Бюрги число (1+1/104).
12 Перші таблиці десяткових логарифмів (1617) були складені за порадою Непера англійським математиком Г. Бріггсом ( ). Багато хто з них був знайдений за допомогою виведеної Бріггсом наближеної формули
14 Позначення. Для позначення десяткових логарифмів (логарифмів на підставі 10) прийнято спеціальний запис: замість log 10 b, де b довільне позитивне число, пишуть lg b. Логарифм на основі е (е = 2, ) називається натуральним логарифмом і позначається ln b. Позначення. Для позначення десяткових логарифмів (логарифмів на підставі 10) прийнято спеціальний запис: замість log 10 b, де b довільне позитивне число, пишуть lg b. Логарифм на основі е (е = 2, ) називається натуральним логарифмом і позначається ln b.
16 Логарифм самого підстави, зведеного на ступінь дорівнює показнику ступеня, тобто. Логарифм самої основи, зведеного на ступінь дорівнює показнику ступеня, тобто. log a a r = r. log a a r = r. Логарифм добутку двох позитивних чисел дорівнює сумі логарифмів цих чисел: Логарифм добутку двох позитивних чисел дорівнює сумі логарифмів цих чисел: log abc = log ab + log a c. Логарифм частки дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника: log a b / c = log a b - log a c. Логарифмчастки дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника: log a b / c = log a b - log a c. Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм основи ступеня: log a r = r log a b. Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм основи ступеня: log a r = r log a b. Перехід до нової основи логарифму: якщо а, b, з позитивні числа, причому а і с відмінні від 1, має місце рівність log a b = log c b / log c a. Перехід до нової основи логарифму: якщо а, b, з позитивні числа, причому а і с відмінні від 1, має місце рівність log a b = log c b / log c a. Якщо а і b позитивні та відмінні від 1 числа, то справедлива рівність log a b = 1/log b a. Якщо а і b позитивні та відмінні від 1 числа, то справедлива рівність log a b = 1/log b a.
17 Споконвіку метою математичної науки було допомогти людям дізнатися більше про навколишній світ, пізнати його закономірності та таємниці. Математики, виділяючи суттєві риси того чи іншого спостерігається в природі явища, вводячи числові характеристики і пов'язуючи емпіричні дані за допомогою різних математичних залежностей, тим самим становлять математичну модель явища. При складанні моделі того чи іншого явища досить часто звертаються саме до логарифмічної функції. Одним із найбільш наочних прикладів такого звернення є логарифмічна спіраль.
18 Логарифмічна спіраль Логарифмічну спіраль можна побачити на рис.1. Спіраль в один бік розгортається нескінченно, а навколо полюса, навпаки, закручується, прагнучи до нього, але не досягаючи. То чому як приклад логарифмічної залежності у природі обрали саме логарифмічну спіраль?
19 Відомо, що живі істоти зазвичай ростуть, зберігаючи загальне зображення своєїформи. При цьому найчастіше вони ростуть у всіх напрямках - доросла істота і вище і товщі дитинча. Але раковини морських тварин можуть зростати лише в одному напрямку. Щоб не надто витягуватися в довжину, їм доводиться скручуватися, причому зростання відбувається так, що зберігається подібність до раковини з її первісною формою.
20 Логарифми у навколишньому світі. Логарифмічна функція виникає у зв'язку з різними природними формами. За логарифмічними спіралями вишиковуються квітки в суцвіттях соняшника, закручуються раковини молюска Nautilus, Логарифмічна функція виникає у зв'язку з різними природними формами. За логарифмічними спіралями вишиковуються квіти в суцвіттях соняшника, закручуються раковини молюска Nautilus,
21 роги гірського барана роги гірського барана А таке зростання може відбуватися лише за логарифмічною спіраллю або її деякими просторовими аналогами. Тому раковини багатьох молюсків, равликів, а також роги гірських козлів закручені по логарифмічній спіралі.
22 і дзьоби папуг. і дзьоби папуг.
23 Можна сказати, що ця спіраль є математичним символом співвідношення форми та зростання. Великий німецький поет Йоганн-Вольфганг Ґете вважав її навіть математичним символом життя та духовного розвитку. По логарифмічній спіралі окреслено не лише раковини. Один з найпоширеніших павуків, епейра, сплітаючи павутину, закручує нитки навколо центру логарифмічними спіралями. У соняшнику (рис.4.) насіння розташоване по дугах, близьких до логарифмічної спіралі. За логарифмічними спіралями закручено і багато галактик, зокрема Галактика, якій належить Сонячна система. Можна сміливо сказати, що це спіраль є математичним символом співвідношення форми і зростання. Великий німецький поетЙоганн-Вольфганг Гете вважав її навіть математичним символом життя та духовного розвитку. По логарифмічній спіралі окреслено не лише раковини. Один з найпоширеніших павуків, епейра, сплітаючи павутину, закручує нитки навколо центру логарифмічними спіралями. У соняшнику (рис.4.) насіння розташоване по дугах, близьких до логарифмічної спіралі. За логарифмічними спіралями закручено і багато галактик, зокрема Галактика, якій належить Сонячна система.
25 « Уже через багато років я попросив у Луврі дозвіл написати копію з цієї картини. Потім я попросив кіномеханіка показати на екрані репродукцію намальованої моєї копії. інстинктивно провів на полотні суворі логарифмічні криві...»
26 Логарифмічна спіраль знаменита і своїми дивовижними властивостями: 1.Вона залишається незмінною як під час перетворення подоби, а й за інших різних перетвореннях. Ця властивість так вразила Якоба Бернуллі (XVII ст.), що вперше вивчав її, що він був схильний надати їм містичного змісту і побажав мати на своїй могильній плиті зображення логарифмічної спіралі з написом: «змінена, воскресаю колишньою». 2. Логарифмічна спіраль перетинає свої радіус-вектори під незмінним кутом. На підставі цього її називають рівнокутною. 3.Остання властивість знаходить своє застосування у техніці. Справа в тому, що в техніці часто застосовуються ножі, що обертаються. Сила з якою вони тиснуть на матеріал, що розрізається, залежить від кута різання, тобто. кута між лезом ножа та напрямом швидкості обертання. Для постійного тиску потрібно, щоб кут різання зберігав постійне значення,а це буде в тому випадку, якщо леза ножів окреслено дугою логарифмічної спіралі. Величина кута різання залежить від матеріалу, що обробляється.
27 Повсюдність такої кривої, а отже і логарифмічної функції, добре ілюструється тим, що вона виникає в таких далеких і абсолютно різних областях, як контур кулачка-ексцентрика та траєкторія деяких комах, що летять на світ. Повсюдність такої кривої, а отже й логарифмічної функції, добре ілюструється тим, що вона виникає в таких далеких і різних областях, як контур кулачка-ексцентрика і траєкторія деяких комах, що летять на світ.
28 Зірки, шум та логарифми. Шум і зірки поєднуються тут тому, що і гучність шуму і яскравість зірок оцінюються однаковим чином за логарифмічною шкалою. Астрономи розподіляють зірки за ступенями видимої яскравості на світила першої величини, другої величини, третьої тощо. буд. Але фізична яскравість їх змінюється з іншого закону: об'єктивні яскравості становлять геометричну прогресію зі знаменником 2,5. Легко зрозуміти, що «величина» зірки є нічим іншим, як логарифм її фізичної яскравості. Зірка, наприклад, третьої величини яскравіша за зірку першої величини в 2,53-1, тобто в 6,25 раза. Коротше кажучи, оцінюючи видиму яскравість зірок, астроном оперує з таблицею логарифмів, складеною на підставі 2,5.
29 Подібним чином оцінюється і гучність шуму. Одиницею гучності служить "біл", практично його десята частка, "децибел". Гучність шуму, виражена в білах, дорівнює десятковому логарифму його фізичної сили. Справа стане зрозумілішою, якщо розглянемо кілька прикладів. Тихий шелест листя оцінюється в 1 білий, гучна розмовна мова в 6,5 біла, гарчання лева в 8,7 біла. Звідси випливає, що за силоюзвуку розмовна мова перевищує шелест листя в раз; Левине гарчання сильніше за гучну розмовну мову в 158 разів. Шум, гучність якого більше 8 біл, визнається шкідливим для людського організму. Вказана ческой залежністю між величиною відчуття і його подразнення, що породжує? Ні, це наслідок загального закону, що говорить: величина відчуття пропорційна логарифму величини подразнення.
30 Безперервне зростання капіталу. Візьмемо суто теоретичний, дуже спрощений приклад. Нехай у ощадкасу покладено 100 руб. під 100% річних. На що перетворяться 100 рублів, якщо відсоткові гроші приєднувати до основного капіталу кожні півроку?
31 Після півріччя 100 руб. виростуть у 100 руб. · 1,5 = 150 руб. А ще через півроку в 150 руб. · 1,5 = 225 руб. Якщо приєднання робити щороку, то після року 100 крб. перетворяться на 100 руб. · (1) 3237 руб. 03 коп. Будемо частішати терміни приєднання відсоткових грошей до 0,1 року, до 0,01 року, до 0,001 року тощо. буд. Тоді з 100 крб. через рік вийде: 100 руб. · 1, руб. 37 коп. 100 руб. · 1, руб. 48 коп. 100 руб. · 1, руб. 69 коп.
32 Висновок Більш ніж у 2,7183 рази капітал, покладений зі 100%, збільшитися не може, навіть якби відсотки, що наросли, приєднувалися до капіталу кожну секунду.
33 Література: 1. Перельман Я.І. «Цікава алгебра», 2. Азевич А.І. «Двадцять уроків гармонії»