Пряме дискретне перетворення Лапласа
Предмет: Теорія Автоматичного Управління
Тема: ПРЯМО ДИСКРЕТНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСУ
Динамічні процеси в дискретних системах управління описуються рівняннями кінцевих різницях. Зручним методом для вирішення різницевих рівнянь є операційний метод, що базується на дискретному перетворенні Лапласа. Дискретне перетворення Лапласа є узагальненням звичайного перетворення Лапласа на дискретні функції.
Однією з найважливіших особливостей перетворення Лапласа є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналами відповідають простіші співвідношення над їхніми зображеннями.
1. Пряме дискретне перетворення Лапласа
Перетворення Лапласа для безперервних оригіналів має вигляд:
Отримаємо формули дискретного перетворення Лапласа. Для виходу імпульсного елемента можна записати співвідношення
Підставивши цей вислів у формулу перетворення Лапласа, отримаємо
При цьому отримали одну з формул дискретного перетворення Лапласа, яка має вигляд:
Порівняно зі звичайним перетворенням Лапласа для безперервних оригіналів, інтеграл замінено на суму, а безперервна змінна -tна дискретну -nT.
Приклад 1. Визначити дискретне перетворення Лапласа для одиничної функціїx (t) = 1 (t).
Рішення: Застосувавши формулу дискретного перетворення Лапласа, отримаємо
Якщо зображення безперервних сигналів є статечними рівняннями -f (p n ),то зображення дискретних функцій є показовими рівняннями -f (e pnT ),отже, до них не можна застосовувати апарат теорії безперервних систем. Виконавши підстановкуz = e pTу формулі (4), отримаємо
Отримали другу формулу дискретного перетворення Лапласа, яке називаєтьсяz-перетворенням. При використанніz- перетворення отримуємо статечні рівняння, що дозволяє застосовувати методи дослідження безперервних систем для дискретних систем з урахуванням деяких особливостей.
Приклад 2. Визначити дискретне зображенняF(z),якщо оригіналf(t)має вигляд (рис.1):
Рішення: ФункціюF(z)можна подати у вигляді ряду
Отримали дискретне перетворення вихідної безперервної функції.
2. Дискретне перетворення Лапласа у загальному вигляді
Для виходу імпульсного елемента можна записати співвідношення
Для знаходження зображенняx* (p)скористаємося теоремою множення у комплексній області.
Зображення твору дорівнює згортку зображень
На підставі теореми Коші про відрахування цей інтеграл можна визначити як суму відрахувань полюсами підінтегральної функції.
Це третя формула прямого дискретного перетворення Лапласа.
Приклад 3. Визначити дискретне перетворення Лапласа для одиничної функції.
Рішення: Функціїx(t) = 1(t)відповідає зображення
Записуємо характеристичне рівняння та визначаємо значення полюсів, їх кількість та кратність.s = 0, s1 = 0, n = 1, m = 1.
Знаходимо дискретне зображення, використовуючи теорему Коші про відрахування по полюсах підінтегральної функції
Приклад 4. Визначити дискретне перетворення Лапласа для лінійноростущої функціїx(t) = t.
Рішення: Функціїx(t) = tвідповідає зображення
Записуємо характеристичне рівняння та визначаємо значення полюсів, їх кількість та кратність. s 2 = 0, s1 = 0, n = 1, m =
Знаходимодискретне зображення, використовуючи теорему Коші про відрахування по полюсах підінтегральної функції
Приклад 5. Визначити дискретне перетворення Лапласа для експоненційної функціїx(t) = e-at.
Рішення: Функціїx(t) = e -atвідповідає зображення
Записуємо характеристичне рівняння та визначаємо значення полюсів, їх кількість та кратність.s+a = 0, s1 = -a, n = 1, m = 1.
Знаходимо дискретне зображення, використовуючи теорему Коші про відрахування по полюсах підінтегральної функції
Для знаходження дискретних зображень можна використовувати будь-яку із розглянутих вище форм дискретного перетворення Лапласа. Коротка таблицяz-перетворень наведена у Додатку 3.
3. Модифіковане дискретне перетворення Лапласа
Після тимчасового квантування безперервного сигналу на виході імпульсного елемента отримаємо дискретну функцію, що відповідає гратчастій функції, яка представляє значення безперервного сигналу дискретні моменти часу спрацьовування імпульсного елемента.
Заданому безперервному сигналу відповідає одна функція грати, а значить і одна дискретна функція. Зворотне завдання неоднозначне, тобто. дискретної функції відповідає безліч безперервних функцій (рис.2а).
Щоб отримати проміжні значення гратчастої функції, а значить і безперервного сигналу, необхідно змусити спрацьовувати ІЕ із запізненням (випередженням). Величина зсуву має змінюватися в межах такту. Якщо час зсуву позначитиeТ, то 0 £e£1.
Якщоe= 0 зсув відсутня, якщоe= 1 зсув 1 такт.
Напрямок зсуву байдуже умовимося зрушувати у бік випередження. Зрушувати можна як ґратчасту функцію, такі момент спрацювання ІЕ. Відповідно до теореми зсуву, зсуву в області оригіналів відповідає множенняe±pTв області зображень.
На схемі можна позначити так (рис.2б)