ПРО ДОКАЗ ОСТАННЬОЇ ТЕОРЕМИ ФЕРМА

(Опубліковано у 1974 р)

Світлій пам'яті мого вчителя Петра Сергійовича Новікова – присвячую.

… Використовуючи принцип повної індукції, можна довести ІСНУВАННЯ деякого математичного ВИСНОВКУ.

І навпаки, використовуючи принцип повної редукції, неважко довести, що певний стан НЕ ІСНУЄ.

Автор вважає, що принцип повної редукції є ні що інше, як "метод нескінченного спуску", яким так пишався великий Ферма.

Принцип повної редукції, хоч і використовувався історія математики, є єдиним принципом, придатним для машинної математики (для доказу теорем), будучи методом " нескінченного спуску "….

ПРИНЦИП ПОВНОЇ РЕДУКЦІЇ,

ЯК "ДВІЙНИК" ПРИНЦИПУ ПОВНОЇ ІНДУКЦІЇ

Виявлення "двійника" ЄДИНОГО принципу математичного доказу навряд чи може пройти непоміченим серед математиків.

Само собою зрозуміло, що цей принцип ВИКОРИСТОВУВАТЬСЯ і ВИКОРИСТОВУЄТЬСЯ, але залишається всередині великого математичного світу тільки НЕ НАЗВАНИМ. Нами пропонується назвати цей принцип – принципом ПОВНОЇ РЕДУКЦІЇ.

Однак існує практично безліч різних математичних теорій, щодо яких ніхто не може сказати - годиться або не годиться саме цей "математичний інструмент" для вирішення прикладних проблем деякого типу.

Обговорення цього кола проблем із П.С. Новіковим вивело мене на сукупність проблем, що мають назву "алгоритмічно нерозв'язних".

Саме тут і виявився загальний керівний принцип, який поки що не мав імені. Практично ми звертаємося до мінімального члена низки, тобто. до того члена, який грає роль "ОДИНИЦІ".

Оскількиіснує безліч різних " одиниць " , всі вони можуть бути джерелом парадоксів. Наведемо простий приклад групи "нерозв'язних" проблем:

1 + 1 = 2;

1 + 1 = 1;

1 + 1 = 0.

Не має сенсу доводити, яка з цих трьох формул є "істинною": всі вони вірні для різних гілок математики.

Використовуючи принцип повної індукції, ми можемо довести ІСНУВАННЯ деякого математичного ВИСНОВКУ. Навпаки, використовуючи принцип повної редукції, ми можемо довести, що певний стан НЕ ІСНУЄ.

Ми вважаємо, що принцип повної редукції є нічим іншим, як "метод нескінченного спуску", яким так пишався великий Ферма.

Встановлюючи ДОВІДКА деякого математичного становища, ми фактично висловлюємо судження про ІСНУВАННЯ або НЕ ІСНУВАННЯ.

Можна припустити, що принцип повної редукції не може не використовувати ряд натуральних чисел, бо тільки там ми можемо запровадити поняття - "НЕПЕРЕДІЙНО СЛІД ЗА ". Однак аксіоматика натурального ряду має бути представлена у формі, яка відрізняється від аксіоматики Пеано:

Існують натуральні числа.

Кожне натуральне число має одне і тільки одне ПЕРШЕ ЙОМУ.

Натуральних чисел, що менше одиниці, не буває.

Ці визначення відмінні від грассманівського двостороннього ряду, тому що при нескінченному спуску закінчуються на тій чи іншій "одиниці".

Нами отримано коректне визначення поняття "НЕПЕРЕДЕРЖНО ПЕРЕДІЙНО".

Само собою зрозуміло, що є безліч робіт, де йдеться про єдиність попереднього елемента, але проблема полягала в такому обігу натурального ряду, щоб не була втрачена ця КІНЦЕВІСТЬ при методі спуску.

Перша "проба пера"Метод повної редукції і повинен бути проведений на проблемі деякого "НЕ ІСНУЄ". Майже очевидно, що таке твердження ми маємо в історії від самого Ферма.

Цих помилок три:

Підміна завдання Ферма – іншим завданням (зокрема, використанням ірраціональних чисел).

Використання принципу "повної індукції", що не має сили для нескінченних множин (множина натуральних чисел - нескінченно).

Відсутність перевірки на парність через некоректне "визначення" парного числа.

Я вважаю, що Ферма вмів використати перевірку на парність, яка втрачена у процесі розвитку математики. Метод, яким так пишався Ферма, відомий як метод "нескінченного спуску". При використанні цього методу ознака числа, бути парною або непарною, зберігається аж до найменшого елемента.

Це дає мені право стверджувати, що "метод нескінченного спуску Ферма" є іншою назвою перевірки на ПАРНІСТЬ. Це завдання було втрачено під час пошуку " докази " .

Ми назвали три типові помилки у спробах "доказу" теореми Ферма. Зупинимося на них детальніше.

Типовим прикладом першої помилки є запровадження ірраціональних чисел, що з відмовою від основний теореми арифметики.

Так відмова від основної теореми арифметики, в рамках якої і потрібно вирішувати проблему, є подібним прикладом. Наприклад, Г. Едвард c пише:

"Виявляється, серед математиків існує глибоко укорінена тенденція несвідомо припускати єдиність розкладання на прості.

Ця тенденція, безсумнівно, навіяна досвідом обчислення зі звичайними цілими числами і тією важливою роллю, яку відіграє єдиність розкладання у доказі таких фактів, як твердження про те, що твір двох взаємно простихчисел є квадратом лише тоді, коли кожен співмножник є квадратом” [1].

Неважко бачити, що корінь n-ого ступеня із суми (хп+уп) - простий приклад заборони на ірраціональні числа, але. лише у доказі теореми Ферма.

Дане твердження Г.Едвардса ясно показує, що ми маємо справу вже з іншим завданням, ніж завдання Ферма.

Якщо ми залишаємося в рамках АРИФМЕТИКИ, то ми можемо виявляти протиріччя, якщо з різних боків знака рівності стоять:

Натуральне число Ф не дорівнює натуральному числу.

Просте число Ф - складового числа.

Парне число Ф - непарному числу.

Я вважаю, що цих трьох дихотомій цілком достатньо для доказу теореми.

Один мій знайомий математик, який повідомив, що теорема Ферма доведена для показника ступеня понад 100 000,не міг зрозуміти, що принцип повної індукції принципово НЕ МОЖЕ призвести до успіху, оскільки він може використовуватися лише для КІНЦЕВИХ множин.

У силу названої обставини ми й виключаємо "принцип повної індукції" із усіх можливих доказів теореми Ферма. Наявність цієї пороку в підході до доказу ніколи не дозволить по відношенню до БЕЗКІНЕЧНОЇ кількості натуральних чисел сказати - "інших не може бути"!

Це я називаю другою помилкою представлених доказів теореми Ферма.

Метод "нескінченного спуску Ферма" досі не отримав адекватного вираження у сучасній математичній літературі, а саме він і є ключем до доказу.

Фактично у розпорядженні Ферма на нижньому рівні "нескінченного спуску" і знаходилася перевірка на ЧЕТНІСТЬ.

Ми наведемо деяке твердження щодо БЕЗКІНЕЧНОГО натурального ряду, еквівалентне теоремі Ферма, у формі:

"Теорема Фермаможе бути неправильна лише для показника ступеня, який є одночасно натуральним, простим і парним числом."

Очевидно, що іншого натурального, простого та парного числа, крім двох, у всій нескінченній послідовності натуральних чисел не міститься.

Якщо ми доведемо це положення, то цим буде доведено і саму теорему Ферма.

Ми вважаємо, що перешкодою по дорозі теореми Ферма служило некоректне визначення ЧЕТНОГО числа.

Так числа 6 чи 10 вважаються парними, але після поділу на 2 стають непарними. При методі "нескінченного спуску" таке некоректне визначення парності виключається через наступне поділ.

Виділяється клас безумовно парних чисел.

Виходячи з правила, що Справжній математичний об'єкт не може змінювати свою властивість, ми повинні позбутися цього некоректного визначення.

Коректне введення поняття ЧЕТНІСТЬ і є той дійсний внесок у розвиток математики, заради якого можна дозволити собі займатися цією проблемою, що породила незліченну кількість "фермістів".

Оскільки в даний час потрібно довести теорему Ферма лише для показника ступеня, який є натуральним, простим і непарним числом, то справедливість нашого твердження буде доведена, якщо ми розглядатимемо лише випадок, що залишився.

Відомо, що з трьох чисел (х, у, z), що входять у формулювання теореми – два є непарними, а одне – “парним”. Ми взяли вираз "парний" у лапки, тому що подібними "парними" є і 6, і 10.

Однак ми можемо уникнути цієї невизначеності, якщо будемо розглядати розкладання чисел на прості співмножники. У цьому випадку наявний у кожному розкладанні будь-який ступінь числа 2 не може зникнути ізалишиться як ознака ЧЕТНОСТІ.

В цьому випадку можлива перевірка на "ПАРНІСТЬ", що полягає в тому, що мінімальний об'єкт, що зберігає парність, містить у розкладанні на прості співмножники лише число 2.

Припустимо, що з трьох натуральних чисел х, у, z де х

Однак у першому співмножнику - R - різниця двох непарних чисел при розкладанні на прості співмножники дасть число 2 тією чи іншою мірою. Це можна записати так:

З іншого боку, ми маємо зліва ЧЕТНЕ число без лапок, яке можна представити як 2k. У цьому випадку маємо:

Порівнюючи тепер ліву та праву частину отриманого виразу, знаходимо:

Тут і настає час перевірки НА ПАРНІСТЬ:

У першому та третьому випадку на основі відмінності ЧИТНОСТІ теорема доведена. У другому випадку ми маємо ліворуч одиницю, а праворуч число, яке явно більше одиниці.

Розглядаючи можливий доказ, який мав на увазі Ферма, ми хотіли звернути увагу на важливість принципу ПОВНОЇ РЕДУКЦІЇ як додаткового засобу вирішення деяких проблем.

Запропонований доказ є своєрідним "відходом" від іншої роботи, де відомий прийом "спінорної лінеаризації" [2] дає можливість вирішувати безліч "нелінійних" проблем, які так псують життя в математичних додатках до практики.

Цей принцип повної редукції може пролити деяке світло на вирішення шостої проблеми Гільберта, оскільки ставить питання про різноманіття "фізичних" ОДИН [3].

[1] Г. Едвардс "Остання теорема Ферма". "Світ", М. 1980, стор.120.

[2] П.Г.Кузнєцов, С.Б.Пшеничников "Спінорний метод вирішення систем нелінійних рівнянь алгебри". ДАН. 1985.Т.283 №5, с. 1073.

[3] P.O. Бартіні, П.Г. Кузнєцов "Множинність геометрій тамножинність фізик".

Москва, Срібний бір 1994р.

Опубліковано:

У сб. "Моделювання динамічних систем", Брянськ, 1974, с. 18-29.