Про гіпотези, що лежать в основі геометрії

Non fingendum aut excogitandum sed inveniendum, quid natura faciat aut ferat

В оригіналі: "n-fold Riemannian physical-space-time manifold" - в українському перекладі доповіді Б.Рімана "Про гіпотези, що лежать в основі геометрії" 1859-го року (Б.Ріман, Твори. М.-Л., Огіз , 1948 - переклад В. Л. Гончарова) вживається термін "n-кратно протяжне різноманіття". Щодо цієї термінології Джонатан Тенненбаум зазначав: «Один із аспектів гауссова побудови «комплексних чисел» був особливо важливий для роботи Рімана. Гаус вказував, що комплексні числа пов'язані з тим, що він називав «двічі протяжним різноманіттям або величиною», в якому допускаються два напрямки дії, а не один. На жаль, у мові сучасних підручників термін «двічі протяжне» замінений на статичний вираз «двовимірний», що насправді означає не те саме. У гауссовому терміні мається на увазі, що він відноситься до акта збільшення числа ступенів свободи дії у довільному процесі». (J.Tennenbaum, Introduction to Karl Gauss's «The Metaphysics of Complex Numbers»,21stCentury Science & Technology, Vol. 3, № 2, Spring 1990.)

Обговорення методу Рімана колегами Ларуша Тенненбаумом і Ральфом Шауерхаммером прояснює використання Ларушем канторівського поняття «потужності» (нім. «Maechtigkeit») по відношенню до ріманівських різноманіток.

«Широко поширена помилка у розумінні риманівського мислення полягає у твердженні, що концепція різноманіття застосовується лише до «чисто математичних об'єктів», на кшталт чисел чи геометричних точок у просторі. Математик, що міркує по-картезіанськи, який стандартно наводить як приклад n-мірного різноманіття безлічі всіх упорядкованих «n-ок» дійсних чисел (x1, x2, x3,. . . , xn), не зрозумів справжнього змісту думки Рімана. Якщо Ріман використовував у цитованому тексті термін "точка", він, звичайно, не мав на увазі позбавлену внутрішнього змісту та протяжності "мертву" точку в просторі або абстрактну пару чисел; «точка» в цьому контексті означає скорішевизначену чи піддається визначенню фазу, або певну чи піддається визначенню умову процесу.

Якщо умови або фази фізичного процесу впорядковані таким чином, що перехід процесу в нову фазу може відбуватися лише в одному напрямку, тоді різноманіття цих умов (так званий фазовий простір) є, за Ріманом, одноразово протяжною величиною. Розширення цього різноманіття до двічі протяжної величини, в такий спосіб, відповідає створення ще одногоступеня свободи, з чого процес отримує подальшу можливість розвитку та більше не повинен продовжувати розвиток у єдиному напрямі. Ріман не «заганяв» штучно-фізичний процес в арифметичні рамки; саме навпаки, він розширив здатність людської свідомості геометрично візуалізувати справжні процеси у всесвіті, що лежать в основі явищ.

Своїм загальним поняттям протяжності Ріман заклав фундамент для теорії трансфінітних чисел Георга Кантора. «Розширення» процесу, що виражається у збільшенні числа ступенів свободи через трансформацію n -> n + 1, є зовсім інший тип «розширення», ніж той, про який ми могли б подумати, виходячи зі звичайного поняття збільшення (тобто, розширення без якісної зміни). Загалом ідея низки трансформацій n -> n + 1 -> n + 2 -> n+3 і т.д. є основою опису неентропійних природних процесів». (Jonathan Tennenbaum, Ralph Schauerhammer. «The ScientificMethod of Bernhard Riemann».21stCentury Science & Technology. Vol. 5, № 2, Spring 1992.)

---