Про літри, молока та множення
У розділі рейтинг знаходиться статистика по всіх блогерах та спільнотах, що потрапляли в основний топ. Рейтинг блогерів вважається виходячи з кількості постів, що вийшли в топ, часу знаходження посту в топі і позиції, яку він займає.
Історія двома словами для тих, хто не чув: виклали, як вчитель поставив трійку за "неправильний" порядок множників. У задачі "Фермер продав 9 покупцям по 2л. молока, скільки всього молока він продав?" школярка написала 9 * 2 = 18, а вчитель перекреслив, написав, що треба 2 * 9 = 18, і поставив трійку.
Втім, є сильніший аргумент "за вчителя", і правильним буде його привести, не обмежуючись досить безглуздим (на мій погляд) аргументом, описаним вище. Більш сильний аргумент полягає в тому, що для того, щоб діти добре зрозуміли сенс множення та його зв'язок із додаванням, корисно змусити їх завчити фіксований порядок множників: 2*9 це 2+2+2. дев'ять разів, а в жодному разі не 9+9 двічі. І тільки потім, на пізнішому уроці, пояснити їм, що порядок насправді не має значення, і це те саме.
Ті, які обурюються, дивляться на це як на начетництво, вважають, що зазубривати такий фіксований порядок безглуздо і нічому не допомагає, і кажуть, що в жодному разі це не виправдовує зниження оцінки за правильну відповідь.
Моя думка - за тих, хто "проти вчителя" та проти начетництва. Але про це докладно говорити вже безглуздо (написані кілометри за і проти); я хотів би уважніше придивитися до аргументу, виділеного вище курсивом. Повторю його тут:
якщо 2 літри помножити на 9 осіб, то у відповіді буде 18 літрів, а якщо 9 осіб на 2 літри, то у відповіді буде 18 літрів
Виявилося, що величезна кількість людейкористується якимось альтернативним множенням за такою методикою:
"В якості розмірності твору беремо розмірність першого множника, тобто всі розмірності, згадані після першого множника, з розгляду викидаємо." Інший спосіб сказати приблизно те саме - це що ми розглядаємо всі множники, крім першого, як безрозмірні. Тобто не "два літри помножити на дев'ять чоловік", а "два літри помножити на дев'ять", і не "дев'ять осіб на два літри", а "дев'ять осіб на два". У такій формі твердження захисників вчителя навіть починає виглядати резонним, тому що розмірності збігаються: 2л*9=18л, 9ч*2=18ч, і виходить, що неправильно писати 9*2. Однак це можна заперечити: але чому сказати 9*2л=18л? У відповідь на це захисники вчителя кажуть: тому що порядок важливий, і першою у множенні ми завжди пишемо "розмірну" величину - літри, люди, що завгодно ще, а другий - безрозмірну, тобто. 'рази'. Чому так - тому що так проявляється зв'язок із додаванням, див вище. З іншого боку, як за такого підходу зрозуміти обчислення площі кімнати розміром 6 метрів на 6 метрів, зовсім незрозуміло, як справедливо зауважує biglebowsky. Якщо ми завжди дивимося тільки на перший множник, чому у творі не метри, а квадратні метри?
Добре, бо як противники вчителя аналізують розмірність у творі, тобто. чому дійсно, якщо порядок множення не важливий, 2 літри помножити на 9 осіб, виходить 18 саме літрів, а не людина? Тому що, кажуть вони цілком резонно, насправді це не "2 літри помножити на 9 осіб", а "2 літри/людина помножити на 9 осіб". Справді, продають по два літри на людину, тобто. 2 л/ч , і при множенні цього на 9 чоловік люди скорочуються і залишаються одні літри - ав якому порядку множити, не має значення.
Досі було коротке переказ того, що вже написано на цю тему, далі йдуть мої міркування. Я вирішив пошукати в англомовних підручниках сліди того ж підходу до розмірності твору, сліди цього "альтернативного множення", використовуючи термінологію biglebowsky. І знайшов приклади цього у підручниках 19 століття, тож це зовсім не український/радянський винахід. Ось два приклади:
1. Книга "Arithmetic & its Applications", D.P.Colburn, 1856. Розділ під назвою "Multiplication", стор 76 і далі. Зверніть увагу, що чітко розділеніmultiplicandтаmultiplier, відповідні в українській термінологіїмножномутамножнику. Цікаво, що "нормативний" порядок у цій книзі протипожений українській! Українською підручники, які наполягають на нормативному порядку, в записі 2*9 визначають 2 як множник, 9 як множну, а сенс дії як 'взяти 2 дев'ять разів'. Тут навпаки 2*9 означає " взяти 9 двічі " , і це цілком логічно, оскільки словами це говориться " 2 times 9 " , тобто. дослівно саме "двічі дев'ять".
На сторінці 79 ми читаємо: NOTE: У зміні ордера factors для однієї кнопки для multiplier повинен бути зареєстрований як abstrakt number (see 74g), інші повинні скористатися з'єднанням з оригінальним multiplicand. Thus 4 times 3 apples = 12 apples etc. Тут "abstract number" саме означає безрозмірне число, а "denomination" - розмірність (літри, люди і т.д.). Тобто, якщо дотримуватися цих правил і застосувати їх до завдання про 18 літрів, треба записати 9 * 2 літри = 18 літрів, але ніяк на 2 літри * 9 = 18 літрів - це неправильно, тому що перший множник це завжди число " разів", абстрактне, безрозмірне число.
2. В іншій книзі, "TheComplete Algebra", Edward Olney (1870), порядок множника і множника інший, такий, як українською, але суть та ж. На сторінці 50 все написано. У цьому підручнику запис "2 x 9" означає словами "nine times two" , тобто множинне, multiplicand, пишеться завжди першим, як в українських підручниках.І чорним по білому написано: множник завжди повинен бути безрозмірним числом.Можна помножити $12 на 5, але як помножити $12 на $5?- це ж абсурд.
Зазначу, що я не надто глибоко копав і не знаю, чи справді процитований вище з двох підручників підхід був стандартним у описі множення в 19-му столітті англійською. Якщо хтось хоче знайти ще приклади і порівняти, то радий дізнатися результати ваших пошуків. Але, як мінімум, це демонструє, що цей підхід був цілком звичайним, і не був придуманий в Україні або СРСР.
Напрошується питання, як у такому разі ці книжки розглядають приклади, коли дійсно треба множити одне розмірне число на інше? Наприклад, площа кімнати розміром 6 метрів на 6 метрів? У другій із вищепроцитованих книг геометрії немає взагалі, але в першій є визначення одиниці площі ("square measure"), і цілий розділ завдань на вимір ("mensuration"), в якому постійно множаться довжини. Як же книга це пояснює?
Якщо чесно, я сам до кінця не розумію, це не дуже добре пояснено, але мені це видається приблизно так. Там, де ми скажемо "6 метрів помножити * 6 метрів = 36 квадратних метрів", цей підручник скаже наступне. Є одиниця площі, квадратний метр, яку ми представляємо цілком геометрично (квадрат розміром 1x1), і щоб дізнатися, скільки квадратних метрів входить у квадрат розміром 6 метрів на 6 метрів, потрібно його довжину помножити на його ширину, і результат буде ось це число квадратних метрів.Тобто. сама операція множення відбувається з безрозмірними числами 6 і 6, і ми вирішили, яка буде розмірність результату. Ми не множимо 6 метрів на 6 метрів, можна множити тільки безрозмірні числа або одне розмірне число на безрозмірне. Так, мені здається, вони це пояснюють (пряма цитата, стор. 35: ". і загальним any surface повинен знаходитися як багато квадроциклів, які є в цій версії, що охоплюють її нескінченно, щоб її шрифт").
Я зупинюся поки що на цьому, і в наступному записі перейду до того, що насправді цікаво для мене – звідки взявся цей підхід, і порівняння його з тим обчисленням розмірностей, яке нам звичне та логічне.