Про поняття нечіткого інтеграла, Стаття у журналі «Молодий ученый»

поняття

Бібліографічний опис:

Введення поняття нечіткого інтеграла пов'язане із прагненням до розробки в нечіткій математиці аналогів, що використовуються в статистиці та теорії ймовірностей понять середнього та математичного очікування. Оскільки зазначені поняття базуються на властивості адитивності ймовірнісної міри, а нечіткі заходи ширший клас заходів, розробка зазначених аналогів призвела до побудови нової математичної конструкції [2].

Нечіткий інтеграл від функціїh : X →[0, 1] на множині AX щонайменше g визначається як

h(x)g =(αg (A ∩Hα)), (1)

Нечіткий інтеграл прийнято також називатинечітким очікуваннямабоFEV (fuzzy expected value).

Нечіткий інтеграл від функціїh : X →[0,1] на нечіткій множиніA=A(x)>за нечіткою мірою g визначається як [3]

h(x)g =(μA(x) h(x))g(2)

Зазначимоосновні властивості нечітких інтегралів.

Нехайa[0,1], (E, FX) іh: X→ [0,1].

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Можна показати, що поняття нечіткого інтеграла схоже на поняття інтеграла Лебега. Для цього розглянемо розбиття множини X на підмножини, що не перетинаються (рис.1):, , i ≠ j, i=1,2,…,n.

молодий

Мал. 1. Побудова ступінчастої функції

Нехай - ступінчаста функція, що зростає (h:X →[0,1]), де

αi[0,1],Ei X,fEi- характеристична функція звичайної множиниEi, тобтоfEi (x)= 1, якщоxEi, fEi (x) = 0, x∉ Ei.Нехайlє міра Лебега. Інтеграл Лебега від функціїhпо множиніAвизначається як

, (3)

Введемо множиниFi =,i=1,2,…, n. Тодіh(x)може бути представлена ​​у вигляді . В цьому випадку нечіткий інтеграл за аналогією з інтегралом Лебег може бути визначений у вигляді:

. (4)

Зіставляючи (3) і (4), можна виявити подібність між даними інтегралами: операції додавання та множення для інтеграла (3) замінені операціями max і min відповідно для (4) [1].

Обидва інтеграли – лебегів і нечіткий – можна порівняти, використовуючи імовірнісний захід. Якщо(X, B, Р)– ймовірнісний простір, аh: X→ [0,1] єB-вимірна функція, то маємо, що

. (5)

Порівняно легко здійснювати розрахунок нечіткого інтеграла у разі кінцевої множиниXі відповідно кінцевого числаα, для яких потрібно визначитиg(Hα).Для цього необхідно скористатися наступним твердженням .

Якщо функціяh(x)набуваєn+1значення αi, то відповідно безліч значеньg(Hαi), відмінних від 0 і 1, складається зnелементів. У послідовності2n+1елементів, складеної з елементів i> і αi), розташованих у порядку зростання, значення серединногоn+1елемента дорівнює значеннюFEV(h).

На рис. 2 наведено приклад графічної інтерпретації знаходження значення нечіткого інтеграла для X = R [2]:

FEV(h)=,деHα=h(x)≥α>.

поняття

Мал. 2. Графічна інтерпретація нечіткого інтегралу

Для опису різних видів невизначеності теоретично нечітких заходів використовується загальне поняття " ступінь нечіткості " . У загальному випадку воно включає "ступінь важливості", "ступінь впевненості" і як окремий випадок - "ступінь приналежності" в теорії нечітких множин.Нечітка міра, таким чином, може інтерпретуватися різними способами залежно від конкретного застосування.

Визначення нечіткої множини, що фіксує ступінь приналежності елемента хХ підмножиниАF(X),деF(Х)- безліч всіх нечітких підмножин Х, може бути представлено з використанням нечіткого інтеграла наступним чином [3 ].

Нехай необхідно оцінити ступінь належності деякого елемента безлічі. Вочевидь, що з порожнього безлічі цей ступінь власності дорівнює 0, а дорівнює 1, тобто. ступінь приналежності для буде більшим, ніж для , якщо . Якщо ступінь належності дорівнюєg(x0,E), а разомEзадано нечітке підмножина, то .

Це свідчить, що ступінь нечіткості судження “” дорівнює ступеня належності нечіткому підмножині . Таким чином, поняття ступеня нечіткості в теорії нечітких заходів включає поняття ступеня належності теорії нечітких множин.

Для безперервного просторуX=Rобчислення нечіткого інтеграла може бути спрощено та зведено до знаходження значення на монограмі (або таблиці).

Нехай виконується умова:

xh(x)≥αi>=Fαi.

І тут справедливо таке. Якщоf(x)– щільність нечіткої міри, значення нечіткого інтеграла відh(x)за нечіткою мірою дорівнює значенню, для якого справедливо:

, , (6)

.

Права частина (6) залежить лише від значеньαіλі може бути отримана заздалегідь у числовому вигляді у формі таблиці або графіка. Ліва частина (6) являє собою відношення області, яка визначається рівневим безліччюHα,до всієї області визначення функції щільності нечіткої міриf(x).

Використання (6), таким чином, може полегшити організацію обчисленнянечіткого інтеграла [1].

Як приклади розглянемо обчислення нечіткого інтеграла для кінцевих множин у випадкахgλ- іgv-мер.

Нехай задана п'ятиелементна множинаX=i>, i . Кожному елементухiXвідповідають значення нечітких щільностейgiз табл.1.