Про застосування статичного адаптивного розбиття розрахункової галузі, Блог компанії Simmakers
Запровадження
Багато програмних комплексів щодо чисельних розрахунків надають користувачам можливість використання статичного адаптивного (далі, просто адаптивного) кроку при побудові ортогональної гексаедрической структурованої розрахункової сітки. Тобто, на основі власного досвіду, користувач, бажаючи отримати більш точний розрахунок і при цьому суттєво не збільшуючи час розрахунку, може вказати таким програмам ті місця розрахункової області, в яких необхідно, на його думку, застосувати більш детальне розбиття (використовувати менший крок простору) порівняно з рештою розрахункової області.
При правильному застосуванні статичне адаптивне розбиття розрахункової області є потужним інструментом у чисельних розрахунках, збільшуючи їх точність. Однак у разі зловживання опцією може значно збільшитися час розрахунку, а точність розрахунку істотно не зміниться. У цій статті ми наводимо теоретичні переваги та недоліки використання адаптивного розбиття розрахункової області, а також даємо два приклади чисельних розрахунків теплових полів у ґрунті. У першому прикладі використання адаптивного кроку є доцільним, тоді як у другому немає.
Мінус використання адаптивної сітки
При чисельному розв'язанні нестаціонарних завдань тимчасовий крок вибирається із критерію стійкості чисельної схеми. Наприклад, для чисельного розв'язання задачі теплопровідності методом звичайно-різницевої апроксимації критерій вибору тимчасового кроку має вигляд:
де - Мінімальні кроки по простору вздовж осей відповідно, а константаCвибирається виходячи з фізичних параметрів задачі.
Уу разі застосування адаптивного розбиття розрахункової області слід уникати сильного зменшення кроку по простору вздовж якогось напрямку в околиці одного вузла. Так як сильне зменшення кроку в околиці одного вузла не дасть відчутного підвищення точності розрахунку в цілому, але, як випливає з формули (1), значно зменшить часовий крок, а отже, збільшиться час розрахунку.
Окремо варто згадати проблему застосування адаптивної сітки при звичайно-різницевій апроксимації диференціальних операторів. Проблема у тому, що порядок апроксимації диференціальних операторів у випадку падає. Розглянемо, наприклад, звичайно-різницеву апроксимацію оператора . Застосовуючи апроксимацію на стандартному шаблоні, отримуємо таку формулу:
де. Припускаючи достатню гладкість функціїu, з урахуванням формули Тейлора маємо такі рівності:
Підставляючи рівності (3) і (4) в (2) і наводячи подібні доданки, отримуємо співвідношення:
З формули (5) випливає, що за , оператор апроксимується з першим порядком точності. У той же час на регулярній сітці і оператор апроксимується з другим порядком точності.
Плюси використання адаптивної сітки
Незважаючи на те, що в загальному випадку різницевий оператор апроксимується з першим порядком точності, на практиці, якщо і буде відрізнятися не суттєво то доданок в (5) буде досить мало і не впливатиме на точність апроксимації.
Також варто зазначити, що якщо користувач бажає отримати більш точне рішення на невеликій ділянці, то є сенс проводити згущення сітки тільки в цій ділянці замість згущення сітки по всій розрахунковій області. У такому разі використанняадаптивної сітки може значно зменшити кількість вузлів розрахункової сітки, тим самим значно скоротивши час розрахунку та кількість пам'яті, що використовується.
Необхідність використання адаптивної сітки виникає у тому випадку, коли потрібно отримати детальну дискретизацію невеликих об'єктів складної форми. Використання рівномірної сітки в таких випадках призводить до надмірного збільшення числа вузлів, що ускладнює як побудова моделі для розрахунку так і подальший розрахунок на ній.
Порівняння результатів розрахунків
Приклад 1
За допомогою програмного комплексу Frost 3D моделюватимемо завдання теплопровідності з фазовими переходами. Вид зверху складеної моделі наведено на малюнку 1:
Малюнок 1 – Вид зверху розрахункової області
Розрахункова область містить чотири паралелепіпеди та особливість у вигляді зірочки по центру. Ширина та висота розрахункової області 60 м, висота – 20 м. Фізичні параметри матеріалів наведені у таблиці 1.
Таблиця 1 - Фізичні параметри матеріалів