Програма - Гільберт - Велика Енциклопедія Нафти та Газа, стаття, сторінка 1
Програма – гільберт
Програма Гільберта показала життєву силу математики кінця ХІХ століття, вона у різкому контрасті з тими песимістичними поглядами, які були наприкінці вісімнадцятого століття. Тепер деякі проблеми Гільберта вирішені, інші все ще чекають остаточного рішення. [1]
Ідея програми Гільберта полягала в тому, щоб знайти стосовно будь-якої окремо взятої області математики набір аксіом і правил виведення, який був би досить повним для всіх можливих у даній галузі коректних математичних міркувань. Те, що ми не розглядаємо більш загальну область математики, не применшує наше завдання: арифметика і сама по собі має спільність, достатню для застосування процедури Геделя. Якщо ми припустимо, що завдяки програмі Гільберта ми дійсно маємо в своєму розпорядженні таку всеосяжну систему аксіом і правил виведення для арифметики, то ми тим самим знаходимо і певний критерій для виявлення коректності математичного доказу будь-якого твердження в галузі арифметики. [2]
Вони показали нездійсненність у цілому програми Гільберта (див. Метаматематика), яка передбачала повну формалізацію суттєвої частини математики та обґрунтування отриманої формальної системи шляхом доказу її несуперечності фінітними методами. [3]
Хоча друга теорема означає повний крах програми Гільберта, перша теорема цікавіша. Такі твердження називаються нерозв'язними. [4]
Незважаючи на те, що спроба здійснення програми Гільберта в цілому виявилася неспроможною (див. Геделя теорема про неповноту), проведені в рамках цієї програми дослідження мали велике значення для розвитку багатьох розділів математич. [5]
Можливо, слід було зсамого початку зрозуміти, що програма Гільберта приречена на невдачу. Аж надто вона схожа на спробу підняти самого себе sg шнурки черевиків. Чи існують взагалі знання, істинні в абсолютному значенні. Але в тому й річ, що значення роботи Геделя виходить за рамки подібних умоглядних міркувань: вона доводить неможливість арифметичного доказу несуперечності самої арифметики. [6]
У 1930 р. він направив до друку роботу5, яка перетворила програму Гільберта на руїни. Інший великий математик Джон фон Нейман читав курс лекцій про програму Гільберта. [7]
Однак надії Гільберта і його послідовників були перекреслені, коли в 1931 блискучий австрійський логік математики Курт Гедель висунув разючу теорему, яка вщент руйнувала програму Гільберта. Гедель показав, що будь-яка подібна точна (формальна) система аксіом і правил виведення, якщо вона досить широка, щоб містити в собі описи простих арифметичних теорем ( як, наприклад, остання теорема Ферма, розглянута в розділі 2), і якщо вона вільна від протиріч - така система має включати твердження, які є ні доведеними, ні недоведеними у межах формалізму цієї системи. Істинність таких нерозв'язних тверджень, отже, не може бути з'ясована за допомогою методів, які допускаються системою. Більше того, Гедель зміг показати, що навіть твердження про несуперечність системи аксіом, будучи переведеним у форму відповідної теореми, є нерозв'язним. [8]
Геделя про неповноту Дві теореми, доведені Куртом Гс - справою в 1931 р. В одному з формулювань цервою геореми стверджується, що сукупність істинних тверджень арифметики не є рекурсивно переліченою (Див. Друга теорема проНеповнота пов'язана з програмою Гільберта в галузі основ математики. [9]
У 1930 р. він направив до друку роботу5, яка перетворила програму Гільберта на руїни. Інший великий математик Джон фон Нейман читав тоді курс лекцій про програму Гільберта. [10]
Цей чудовий результат є наслідком ще більш вражаючої теореми, також доведеної Геделем. Значення останньої теореми (званої зазвичай теоремою Геделя про неповноті) винятково велике - вона показала нездійсненність програми Гільберта у її повному вигляді, оскільки стверджує, сутнісно, що будь-яка несуперечлива формальна теорія, формализующая арифметику натуральних чисел, не сповнена. Основну роль доказі цієї теореми грає деяке арифметичне висловлювання S, що має тим властивістю, що ні S, ні-5 не є теоремами, що і доводить негативну неповноту теорії. Оскільки S і - S суть саме висловлювання (а чи не просто деякі формули), то - якщо інтерпретувати їх як висловлювання змістовної арифметики - одне їх істинно, інше хибно. Оскільки жоден їх доведено, то виходить, що у арифметиці є справжнє, але з доказуване висловлювання. Інакше кажучи, в арифметиці є нерозв'язне висловлювання. [11]
Ідея програми Гільберта полягала в тому, щоб знайти стосовно будь-якої окремо взятої області математики набір аксіом і правил виведення, який був би досить повним для всіх можливих у даній галузі коректних математичних міркувань. Те, що ми не розглядаємо більш загальну область математики, не применшує наше завдання: арифметика і сама по собі має спільність, достатню для застосування процедури Геделя. Якщо ми припустимо, що завдяки програмі Гільберта ми дійсно маємо таку всеосяжнусистемою аксіом і правил виведення для арифметики, ми тим самим знаходимо і певний критерій виявлення коректності математичного докази будь-якого твердження у сфері арифметики. [13]
Він серйозно сприйняв концепцію Брауера, підтриману Марковим, що математика по суті є гуманітарна наука, і розглядав її як одну з галузей світової культури. Сам він соромився публікувати філософські роботи (багато математиків страждають на цю помилкову скромність), але його філософські міркування на близькі до сучасної логіки теми завжди були виключно глибокими. Зокрема, саме він одним із перших в Україні зауважив, що програма Гільберта обґрунтування математики зовсім не завершилася провалом. Теорема Геделя про недоказовість несуперечності показала лише неточність формулювання коштів, а саму мету програми Гільберта було практично досягнуто в результаті метаматематичних досліджень з інтуїціоністської та конструктивної математики. Таким чином, А. Г. Драгалін ще раз підтвердив глибину поглядів Гільберта, підтриманих, до речі, його нібито непримиренним (якщо судити з писань вульгаризаторів історії науки) опонентом Брауером: хоча часом у принципі ідеальні поняття можуть бути усунуті, редукціонізм і повзучий 4ем до повної розумової прострації, просто неймовірно збільшуючи обсяг викладок. Ні до чого нетривіального ми не можемо дістатися без використання ідеальних понять, і чим сильнішого практичного результату ми бажаємо досягти, тим більш високу теорію треба задіяти. Інша річ, що з цієї висоти треба ще зуміти спуститися на грішну землю, оскільки навіть операція з'ясування, чи не є одним із понять високого рівня прикладом іншого, вже нерозв'язна алгоритмічно. [14]
Запитанняпро несуперечність стали особливо актуальними на поч. Гільбертом висунуто програму обґрунтування математики, метою якої було доказ несуперечності формальних теорій, що використовують нескінченні множини. Програма Гільберта значно переосмислена після відкриттів К. [15]