Проміжок (математика)
Проміжок[1] , або точніше,проміжок числової прямої— безліч дійсних чисел, що володіє тією властивістю, що разом з будь-якими двома числами містить будь-яке, що лежить між ними [2] . З використанням логічних символів це визначення можна записати так: X ⊂ R > - проміжок, якщо
∀ x ∀ y ∀ z ( ( x ∈ X ) ∧ ( z ∈ X ) ∧ ( x y z ) ⇒ y ∈ X ) . (x\in X)\wedge (z\in X)\wedge (x
Як приклади проміжків можна навести такі множини:
0\>,&X_&=\ \colon x X 1 = < x ∈ R : 0 ⩽ x ⩽ 1 >, X 2 = < x ∈ R : 0 ⩽ x 1 >, X 3 = < x ∈ R : 0 x ⩽ 1 >, X 4 = < x ∈ R : 0 x 1 >, X 5 = < x ∈ R : x >0 > , X6 = < x ∈ R : x 1, X 7 = R , X 8 = ∅ . X_&=\ \colon 0\leqslant x\leqslant 1\>,&X_&=\ \colon 0\leqslant x 0\>,&X_&=\ \colon x 0\>,& X_&=\ \colon x
Зміст
називаютьсянапівсегментами(не доповненими до сегмента) абонапівінтервалами.
Довжиноюпроміжку у всіх випадках називається число b − a.
[ a , + ∞ ) , ( a , + ∞ ) , ( − ∞ , b ) , ( − ∞ , b ) , ( − ∞ , + ∞ ) .
Для розширеної числової прямої також вводять поняття проміжків - відрізків, інтервалів, напівінтервалів [1] . На відміну від відповідних проміжків числової прямої вони можуть містити елементи ± ∞. Наприклад, (a, + ∞] = (a, + ∞) ∪ <+ ∞ >>>.
в українській мові словапроміжоктаінтервалвідповідають одному англійському слову interval . В англомовній літературі [4] та у перекладах іноземних книг, а також у деяких інших книгах українською мовою використовується така термінологія:
Тобто різні типиінтервалів.
У старішій українськомовнійлітературі [5] замість «інтервал» використовується словопроміжок:замкнений проміжок,відкритий проміжок,напіввідкритий(абонапівзамкнений8>)проміжок.
Однак, особливо в навчальній літературі, де найбільша кількість теорем для функцій на компактних множинах, для замкнутого проміжку переважно мати окрему назву в одне слово - сегмент [3] (термін «відрізок» має скоріше геометричний відтінок, як і «Проміжок числової прямої»). В цьому випадку термін «інтервал» закріплюється лише за відкритим проміжком.
також відкриті і замкнуті множини.
Теорема про проміжні значення
Відома теорема Больцано - Коші про проміжні значення безперервної функції говорить: образ будь-якого проміжку при безперервному відображенні знову є проміжок. Як випливає з узагальнення цієї теореми на випадок довільних топологічних просторів, ця теорема - наслідок того факту, що проміжки - точно зв'язні підмножини R & gt; . Див. нижче зв'язкові множини.
Операції з проміжками
Насправді проміжок нерідко характеризує інтервал можливих значень (приблизно) виміряної величини. На багатьох таких проміжках можна визначити арифметичні операції. Тоді результату обчислень над величинами можна порівняти відповідні обчислення з їхньої інтервалами, які у результаті інтервал можливих значень результату.
Проміжки числової прямої, прямокутники на площині, прямокутні паралелепіпеди в просторі тощо є відправною точкою в теорії міри, оскільки є найпростішими множинами, міру яких (довжину, площу, об'єм тощо) легко визначити.
Зв'язкові множини
Узагальненням проміжку числової прямої є поняттязв'язкового топологічного простору. На числовій прямій будь-яке зв'язне безліч є проміжок, і назад, будь-який проміжок є зв'язкове безліч.
Випуклі множини
Іншим узагальненням поняття проміжку числової прямої є поняття опуклої множини.
Проміжки в частково впорядкованих множинах
У загальному випадку поняття проміжку можна ввести на будь-якій множині, на якій введено відношення порядку