Рахункові множини
Еквівалентні множини
1.Встановити взаємно-однозначну відповідність між множиною всіх натуральних чисел і множиною натуральних чисел, кратних 5.
2.Встановити біекцію півкола та її діаметра.
 |
 |
Нехай , , тоді
.
5.Знайти взаємно-однозначне відображення інтервалу на всю числову пряму (геометрично та аналітично).
Нехай, тоді.
6. (6) Готель Гілберта. Десь у далекому космосі є готель із нескінченною кількістю одномісних номерів, причому всі вони заселені. До готелю приїхала людина і попросила поселити її в окремий номер. Адміністратор зумів задовольнити його прохання, не виселивши при цьому жодного постояльця. Як йому вдалося це зробити?
Занумеруємо номери числами 1, 2, 3, …, n , … Переселимо постояльця з 1-го номера у 2-й, з 2-го до 3-го, …, з n-го – до (n+1)-го і т.д. Таким чином, ми звільнимо 1-й номер, в який і поселимо нового постояльця.
7.Знайти взаємно-однозначне відображення відрізкана півсегмент.
 |
Так як на першому проміжку точок на одну "більше", то потрібно кудись прибрати "зайву" точку.
Візьмемо на кожному з проміжків довільну послідовність і зробимо так само, як з готелем Гілберта: точці x1 з множини поставимо у відповідність точку x2 з множини, точці x2 з А –
точку x3 з, …, точці xn з А – точку xn+1 з і т.д. ТакимТаким чином, В звільниться точка x1, яку ми і поставимо у відповідність точці b з множини А. Інші точки в множинах А і В однакові, отже, ми їх поставимо у відповідність один одному.
Таким чином, отримаємо взаємно-однозначну відповідність між А та В.
8.Довести, що всі кінцеві проміжки числової прямої еквівалентні.
Як уже показано в № 4, всі однойменні проміжки (тобто всі сегменти, всі інтервали тощо) еквівалентні між собою, а в попередньому прикладі ми показали, що й різноіменні проміжки теж еквівалентні, що потрібно було довести.
9.Довести, що будь-який проміжок числової прямої еквівалентний всій числовій прямій.
10.Чи існує безперервна функція, що відображає взаємно-однозначно відрізокна всю числову пряму?
Ні, оскільки, якщо функція безперервна на сегменті, то безліччю її значень теж сегмент.
Домашні приклади
11.Знайти взаємно-однозначне відображення відрізкана інтервал .
відображаємо в(аналогічно задачі 7, тільки в послідовність "ховаємо" дві точки).
12.Знайти взаємно-однозначне відображення напівсегменту на промінь.
За допомогою функції y = tgx.
13.Чи існує безперервна функція, що відображає взаємно-однозначно відрізокна інтервал?
14.Чи існує безперервна функція, що відображає взаємно-однозначно відрізокна безліч, що складається з двох відрізків?
У 13 та 14 відповідь "ні" (див. задачу 10).
15.Встановити взаємно-однозначну відповідність між колом і прямою.
 |
Точці Про відповідає нескінченно віддалена точка числової прямої.
Рахункові множини.Потужність континууму
1.Яка потужність множини?
Ця множина є об'єднанням двох послідовностей. Оскільки послідовність – це лічильна множина, то й множина А рахункова.
2.Яка потужність безлічі точок на площині, у яких обидві координати раціональні?.
Безліч точок на площині з раціональними координатами можна у вигляді . Таким чином, це безліч, елементи якого розрізняються двома значками, що пробігають лічильну множину значень, отже, по лемі 2.1 це множина лічильно.
3.Яка потужність безлічі всіх трикутників на площині, вершини яких мають раціональні координати?
Це безліч рахунків (див. задачу 2).
4.Довести, що безліч всіх кіл на площині, радіуси яких раціональні та координати центру – раціональні числа, лічильно.
5.Довести, що якщо відстань між будь-якими двома точками множини Е на прямій більше 1, то множина Е не більше, ніж лічильно.
Оточимо кожну точку множини околицею, довжиною 1, тоді ці околиці не будуть перетинатися. У кожному околиці виберемо раціональне число. Отримаємо деяку множину А раціональних чисел, що знаходиться у взаємно-однозначній відповідності з множиною Е. Так як множина А – частина множини Q, то вона не більш ніж лічильна, отже, множина Е теж не більше ніж лічильна.
6.Довести еквівалентність сегментаі інтервалу, користуючись теоремами про властивості нескінченних множин.
Оскільки і безліч незліченно, то з теоремі 3.2 еквівалентний.
7.На прямій задано безліч відрізків, що попарно не перетинаються. Що можна сказати про потужність цієї множини?
Це безліч небільш ніж лічильно (див. задачу 5).
8.Довести, що безліч точок розриву монотонної функції, заданої на всій числовій прямій, звичайно або лічильно.
Поставимо кожній точці розриву, наприклад, х1 у відповідність сегмент , що характеризує величину стрибка в цій точці. Очевидно, що для монотонної функції ця відповідність буде взаємно однозначною, і зазначені сегменти не перетинаються. Тоді в силу завдання 7 їх безліч не більше ніж лічильно, отже, не більше ніж лічильне і безліч точок розриву.
| наступна лекція = = gt; | ||
| Згідні звуки та співзвуччя, склади | Монтажні блоки та поліпасти, траверси, шарнірні пристрої, пристрої для стропування судин та апаратів |