Рівняння площини задачі C2
Сьогодні ми розберемо дуже простий і – не побоюся цього слова – гарний прийом, за допомогою якого складається рівняння площини у задачі C2 з ЄДІ з математики. Урок розділений на дві частини: теоретичну (що таке визначник і як його рахувати) та практичну (як за допомогою визначника знаходити рівняння площин). Ті, кому не терпиться, можуть одразу перейти до другої частини — «Рівняння площини через визначник».
Що таке матриця та визначник
У цьому уроці не буде суворих визначень із вищої математики. Тому що вони украй складні для розуміння. Краще визначимо їх як:
- Матриця — це таблиця, заповнена числами. Матриці бувають квадратними (коли кількість рядків збігається з кількістю стовпців) та прямокутними (коли не збігається);
- Визначник - це число, яке знаходиться за спеціальним алгоритмом із чисел, записаних у квадратній матриці. Кожен розмір матриці має свій алгоритм. Для прямокутних матриць визначник не можна знайти.
Приклади квадратних матриць розміром 2x2, 3x3 та 4x4:
Приклади прямокутних матриць 2x3, 3x2 і навіть 4x1:
Як бачите, матриці бувають різних розмірів і позначаються квадратними дужками. Усередині них можуть стояти зовсім різні числа, зокрема. негативні та нулі. Але для вирішення задачі C2 нам знадобляться лише квадратні матриці розміром 3x3. Наприклад, такі:
Як вважати визначник 3-го порядку
Тепер розберемося із визначниками. Найчастіше позначають літерою d (від слова determinant). Оскільки нас цікавлять лише матриці 3x3, вчимося вважати визначники саме для них. Процедура виглядає досить просто. Погляньте на картинку:
Щоце за пентаграми? На першому малюнку ми беремо три числа, що лежать на діагоналі, та перемножуємо їх. Потім беремо інші трійки чисел, що у вершинах трикутників, і теж перемножуємо їх між собою. В результаті всіх цих махінацій ми отримаємо три числа, які треба скласти (тому внизу лівої картинки стоїть знак плюс).
Тепер розуміємось з другою картинкою. Тут ми знову беремо та перемножуємо три числа, але вже на іншій діагоналі. Також ми знову беремо два трикутники і перемножуємо числа, що стоять у їх кутах (окремо для кожного трикутника). Отримані три числа знову складаємо, а результат віднімаємо з першого числа (тому внизу справа стоїть знак мінус).
На перший погляд, без пляшки не розберешся. Але на практиці такі визначники вважаються дуже швидко. Дехто навіть примудряється вважати їх усно. Щоб переконатися в цьому, спробуємо знайти пару визначників.
Завдання. Знайдіть визначник квадратної матриці:
Перемножуємо числа. що стоять на першій діагоналі (виходить з лівого верхнього кута):
Тепер перемножуємо числа, які у вершинах трикутників першому малюнку. Кожну трійку треба рахувати окремо:
2 · 6 · 7 = 84; 3 · 4 · 8 = 96.
Залишилося скласти отримані числа:
45 + 84 + 96 = 225
Отже, для першого малюнка (відзначеного знаком плюс) ми одержали число a = 225.
Переходимо до другої діагоналі набору трикутників. Ця діагональ починається із правого верхнього кута матриці. Маємо:
Виписуємо числа з двох трикутників, що залишилися:
2 · 4 · 9 = 72; 1 · 6 · 8 = 48;
Залишилося виконати останні кроки — скласти ці три числа, а отримане число (назвемо його b ) відняти від числа a = 225, знайденого раніше:
b = 105 + 72 + 48 = 225; d = a − b =225 − 225 = 0.
Отримали число d = 0 це і є визначник.
Завдання. Знайдіть визначник квадратної матриці:
На цей раз не будемо детально розписувати кожен крок. Запишемо лише те, що справді треба писати у рішенні. А саме:
a = 1 · (−2) · 5 + 2 · 3 · 0 + 3 · (−1) · 4 = −10 + 0 − 12 = −22; b = 3 · (−2) · 0 + 2 · (−1) · 5 + 1 · 3 · 4 = 0 - 10 + 12 = 2; d = a − b = −22 − 2 = −24.
От і все! Число d = −24 – це відповідь.
Завдання. Знайдіть визначник квадратної матриці:
Знову запишемо лише обчислення:
a = 1 · 6 · (−2) + 0 · 1 · 0 + (−1) · 3 · (−3) = −12 + 0 + 9 = −3; b = (−1) · 6 · 0 + 1 · 1 · (−3) + 0 · 3 · (−2) = 0 − 3 + 0 = −3; d = a - b = -3 - (-3) = -3 + 3 = 0.
З першого та останнього завдання випливає, що визначник матриці цілком може дорівнювати нулю. Ця властивість якраз і знадобиться для вирішення задачі C2. Точніше, щоб швидко складати рівняння площин.
Ну і як складати ці рівняння? Відповідь дивіться у другій частині – «Рівняння площини через визначник».