Різноманіття алгебраїчних систем

Алгебраїчною системою називається безліч, на якому заданий деякий набір операцій алгебри; операцій у цьому наборі може бути як кінцеве число (зокрема одна), так і нескінченно багато. Розуміння висловленого визначення передбачає знання математичних понять множини та алгебраїчної операції. Маючи на увазі переважно читача-нематематика, я не поглиблюватимусь тут і наводитиму відповідні роз'яснення, а проілюструю визначення на кількох, сподіваюся, цілком зрозумілих прикладах. Безліч N всіх натуральних чисел можна як алгебраїчну систему з однією операцією складання; або з однією операцією множення; або з набором із двох зазначених операцій; або, наприклад, з набором, який складається з двох зазначених операцій та нескінченної множини операцій зведення довільного числа у всілякі ступені з натуральним показником. Таким чином, те саме безліч (у даному прикладі - N) може бути перетворено на різні алгебраїчні системи. На множині всіх цілих чисел чи множині всіх дійсних чисел можна крім перелічених операцій розглядати, наприклад, операцію віднімання. Різні алгебраїчні операції природно розглядати як на числових множинах, а й, наприклад, на множинах векторів, функцій, матриць, ланцюжків сигналів та багатьох інших множинах, службовців предметом уваги й вивчення різних розділах математики та її додатків. Тим самим ясно, що різного роду алгебраїчні системи дуже поширені в "математичному світі".

Алгебра, що є однією з найважливіших областей математики, у ХХ столітті сформувалася саме як наука про алгебраїчні системи. При цьому в ній вивчаються і властивості конкретних систем алгебри, ірізноманітні загальні властивості алгебраїчних систем, що виражаються у термінах заданих на них операцій. Однією з найважливіших мов вираження властивостей алгебраїчних систем є мова тотожностей. Тотожністю називають рівність буквених виразів, справедливе при всіх значеннях літер, що входять до нього. Поняття тотожності можна вважати унікальним по "дистанції", що охоплюється ним у математиці, - від початкових фактів, з якими знайомляться молодшекласники, до великих наукових досягнень останнього часу та відкритих проблем.

Найпростіші приклади тотожності доставляє та властивість додавання та множення натуральних чисел, яка називається комутативністю і яку в школі прийнято називати переміщувальним законом. Відповідні тотожності записуються добре відомими формулами

x + y = y + x, x · y = y · x. (1)

У шкільному курсі до переміщувального закону незабаром додається комбінаційний, що означає виконання для зазначених операцій властивості асоціативності, тобто тотожностей

(x + y) + z = x + (y + z), (x · y) · z = x · (y · z). (2)

Пізніше констатується так званий розподільчий закон, що означає виконання тотожностей дистрибутивності

x · (y + z) = x · y + x · z, (y + z) · x = y · x + z · x. (3)

Зазначені тотожності поширюються більш широкі числові множини: на цілі числа, раціональні, дійсні. Для числових множин у шкільній математиці відзначаються й інші тотожності, зазвичай, виведені з простих, серед яких, звісно, тотожності (1)-(3). Типові приклади таких тотожностей:

(x + y) 2 = x2 + 2 · x · y + y2, x2 - y2 = (x + y) · (x - y).

Є чимало прикладів важливих тотожностей (як у рамках шкільної математики, так і особливо поза цими рамками), в яких беруть участь іншіоперації, задані на числових та нечислових множинах. Можна сміливо сказати, що тотожності є неодмінними учасниками багатьох математичних викладок, й у величезному числі робіт, які стосуються різних галузей математики, однак доводиться мати справу з тотожностями алгебраїчних систем. Варто зазначити, що майже всі основні типи алгебраїчних систем визначаються в термінах тотожностей.

Так, напівгрупа – це безліч з однією асоціативною операцією; якщо ця операція позначена, скажімо, символом °, то асоціативність означає виконання тотожності

(x°y)°z=x°(y°z).

Зокрема, якщо така операція названа додаванням [множенням], то напівгрупа визначається першою [другою] з тотожностей (2); цим, наприклад, безліч N всіх натуральних чисел є напівгрупою і щодо додавання, і щодо множення.

Група може бути визначена як напівгрупа (з операцією, позначеною, скажімо, символом °), на якій задана додаткова операція, що співставляє будь-якому елементу x елемент, що позначається, скажімо, x', причому крім тотожності асоціативності виконані тотожності

x ° x' = x' ° x , (x ° x') ° y = y ° (x ° x') = y.

Групою, наприклад, буде безліч всіх цілих чисел, якщо як операцію ° взяти додавання, а роль x' гратиме елемент -x.

Кільце визначається як множина з двома операціями, званими зазвичай додаванням і множенням, і додатковою операцією, що співставляє будь-якому елементу x елемент -x, причому щодо додавання і зазначеної додаткової операції це група, додавання комутативно, тобто виконано перше з тотожностей (1) , А додавання та множення пов'язані тотожністю дистрибутивності (3). Найпростіший приклад кільця - безліч всіх цілих чисел щодо звичайнихоперацій складання та множення.

Вочевидь, різних тотожень нескінченно багато, навіть якщо розглядати лише тотожності, у яких фігурує якась одна операція. Більш того, з будь-якого тотожності, що виконується в даній системі алгебри, можна вивести нескінченно багато інших тотожностей, що виконуються в тій же системі. Вже ці прості міркування наводять на думку про багатство ситуацій, де можуть виникати питання, пов'язані з розглядом тотожностей. (Наприклад, одне з принципових питань такого роду полягає у з'ясуванні того, чи можуть всі тотожності, що виконуються в даній системі алгебри, бути виведені з кінцевого числа таких тотожностей. Це так звана проблема кінцевого базису. Відомі приклади як позитивного, так і негативного рішення цієї проблеми для багатьох алгебраїчних систем, що вивчалися, - і в більшості випадків відповідні результати являють собою великі досягнення в сучасних алгебраїчних дослідженнях *). Проблематика, пов'язана з вивченням тотожностей, надзвичайно багата та зумовила формування широкого спрямування досліджень, званого теорією різноманітностей. Розмаїттям у цьому контексті прийнято називати будь-який клас алгебраїчних систем, який може бути заданий деякою сукупністю тотожностей. Важливими прикладами різноманіття є, як випливає зі сказаного в трьох попередніх абзацах, такі "великі" класи, як клас усіх напівгруп, клас всіх груп, клас всіх кілець. У кожного з них є безліч підкласів, які також є різноманіттями; вони називаються підбагатьма. Подмногообразия будь-якого різноманіття утворюють так звану решітку (це теж один з основних типів алгебраїчних систем, але, не забуваючи про читача-нематематику, я не наводитиму визначенняграти, яке, до речі, також може бути дано мовою тотожностей). Значна частина досліджень з теорії різноманітностей встановлює різноманітні зв'язки між різноманіттями та ґратами їх підбагатьох.

Окрім оригінальних публікацій, певну увагу було приділено нами та перекладам українською мовою кількох фундаментальних зарубіжних праць в областях, що входять до кола інтересів учасників семінару. Це двотомна монографія [17], основним перекладачем якої був В. А. Баранський (він переклав 11 розділів з 12, один розділ переведений В. Г. Житомирським), монографія [18] та навчальний посібник [19], перекладені І. О. Коряковим. Зазначені переклади виконані під редакцією ми ці рядки.

Семінар брав участь в організації кількох великих алгебраїчних конференцій, у тому числі всіх трьох всесоюзних симпозіумів з теорії напівгруп, проведених у Свердловську Уральським університетом у 1969, 1978 та 1988 роках, та двох міжнародних конференціях з теорії напівгруп та її додатків на честь Е. Ляпіна, проведених у Санкт-Петербурзі у 1995 та 1999 роках (Уральський університет був співорганізатором цих двох конференцій). З учасників семінару складалася редколегія збірки невирішених проблем з теорії напівгруп "Свердловський зошит", що тричі випускався Уральським університетом після кожного всесоюзного симпозіуму.

У більш-менш найближчому майбутньому бачиться день, коли семінар збереться і на своє 1000-те засідання: це може статися в 2005 році. Сподіваюся, що найближчими роками учасники семінару успішно продовжать свою дослідницьку діяльність як у напрямках, які стали для семінару традиційними, так і, можливо, у тих чи інших нових напрямках. Хочеться також сподіватися, що й надалі семінар поповнюватиметьсямолоді дослідники.