Ряд - ПріМат
Рівномірна збіжність та диференційність
Нехай — послідовність функцій, що безперервно диференціюються на відрізку. Припустимо, що у певній точці числова послідовність сходиться, а функціональна послідовність поступово сходиться на . Тоді вихідна послідовність рівномірно сходить до безперервно диференційованої функції, причому для будь-якого справедлива рівність.
Доведення
Позначимо. По теоремі про безперервність межі рівномірно збігається послідовності безперервних функцій отримуємо, що функція безперервна на . Покладемо. Застосуємо на відрізку з кінцями і теорему про граничний перехід під знаком інтеграла до послідовності. Тоді отримаємо
(Остання рівність справедлива через формулу Ньютона-Лейбніца). За умовою теореми існує. Тоді з рівності випливає, що є і , тобто. ми показали, що послідовність сходиться на . Позначимо і отримаємо, що , оскільки функція диференційована (як інтеграл зі змінним верхнім межею від безперервної функції ) і (з формули Ньютона-Лейбніца), то звідси випливає, що функція також диференційована і , тобто. функція має похідну, ця похідна безперервна і справедлива рівність. Залишилося показати, що послідовність сходить до функції поступово на . Маємо . Друге доданок праворуч мало за досить великих, а перше оцінюємо так: . Тепер залишається врахувати, що послідовність сходить до функції рівномірно на , і тим самим завершується доказ теореми.
Нехай на відрізку задана послідовність безперервно диференційованих функцій , така, що ряд сходить у певній точці , а ряд похідних сходить рівномірно на . Тоді вихідний ряд поступовосходить на всьому відрізку, його сума є безперервно диференційованою функцією і справедлива рівність.
Доведення
Нехай на відрізку задана послідовність функцій, що диференціюються , що сходить в деякій точці і така, що функціональна послідовність сходить рівномірно на . Тоді послідовність рівномірно сходиться на всьому відрізку до деякої функції , причому ця функція диференційована на справедливо рівність $$f'(x)=\lim_f'_(x) \; \; \; \; \; (x \ in \ left [a; b \ right]) $ $.