Ромбічна мозаїка
 | |
| Тип | мозаїка Лавеса [en] |
| Діаграма Коксетера | |
| Грані | ромби 60 ° -120 ° |
| Конфігурація граней | V3.6.3.6 |
У геометріїромбічна мозаїка[1] ,блоки, що кантуються[2] ,оборотні кубиабокубічна решітка— це мозаїка однакових ромбів з кутом 60° на евклідовій площині. Кожен ромб має два кути 60 ° і два 120 °. Такі ромби іноді називають діамонд. Багато з трьох ромбів стикаються вершинами з кутом 120 °, а безлічі з шести - вершинами з кутом 60 °.
Зміст
Ромбічну мозаїку можна розглядати як розділену шестикутну мозаїку, в якій кожен шестикутник розділений на три ромби, що мають загальну вершину в центрі шестикутника. Такий поділ є правильною сполученою мозаїкою. Її можна розглядати також як розділення чотирьох шестикутних мозаїк, в яких шестикутники розділені на 12 ромбів.
Діагоналі ромба відносяться як 1:3. Ромбічна мозаїка є двоїстою тригексагональною мозаїкою [en] аборешіткою кагоме. Як двоїста мозаїка однорідної мозаїки вона є однією з одинадцяти можливих мозаїк Лавеса [en] , і її вершинна конфігурація [en] * позначається як [3.6.3.6] [4] .
Мозаїка є також одним із 56 можливих ізоедральних заміщень [en] чотирикутниками [5] та однією звосьми замощень площини, у якій будь-яке ребро лежить на осі симетрії мозаїки [6] .
Можна вкласти ромбічну мозаїку в підмножину тривимірної цілої решітки таким чином, що дві вершини суміжні тоді і тільки тоді, коли відповідні точки грати знаходяться на одиничній відстані один від одного. Суворіше, коли число ребер в найкоротшому шляху між двома вершинами мозаїки дорівнює відстані міських кварталів між відповідними точками ґрат. Таким чином, ромбічну мозаїку можна розглядати як приклад нескінченного графа одиничних відстаней та часткового куба [7] .
Ромбічну мозаїку можна інтерпретувати як ізометричну проекцію безлічі кубів двома різними шляхами, які представляють оборотні фігури [en] , пов'язані з кубом Некера [en] . Це явище відоме як ілюзія «оборотних кубів» [8] .
У ксилографіяхМетаморфози I [en],Метаморфози II [en]таМетаморфози III [en]Ешер використовує цю інтерпретацію мозаїки як шлях перетворення з двовимірних у тривимірні форми [9] . В іншій його роботі,Цикл(1938) , Ешер грає з внутрішнім протиріччям між двовимірністю і тривимірністю цієї мозаїки - на малюнку намальовані будівлі, які мають великі кубічні блоки як архітектурні елементи і внутрішній дворик нагорі, замощений ромбічної мозаїки . Людські фігурки, що спускаються з дворика вниз кубами, стають стилізованими і плоскими [10] . Ці роботи використовують лише одну тривимірну інтерпретацію мозаїки, але в картиніОпуклий і увігнутий [en]Ешер експериментує з оборотними фігурами і включає зображення оборотних кубів на прапорі [11] .
Ромбічна мозаїка використовується також для паркету [12] і як плитка для підлоги або стін,іноді зі зміною форми ромбів [13] Ромбічний малюнок виявляється на стародавній мозаїчній підлозі в грецькій Ділосі [14] і на італійській підлозі 11-го століття [15] , хоча плитка в мозаїці Сієнського собору більш пізнього виробництва [16] . Стеганий матеріал [en] , відомий з 1850-х років як візерунок блоків, що перекидаються, що виражає візуальний дисонанс, викликаний двоякою тривимірною інтерпретацією [2] [15] [17] . Цей візерунок має багато інших назв, наприклад, небесні сходи та скриньку Пандори [17] . Вважається, що цей візерунок використовувався як сигнал на підпільній залізниці - коли раби бачили його повішеним на огорожі, вони збирали свої пожитки і переховувалися [18] . У цих декоративних візерунках можуть використовуватися ромби різних кольорів, але зазвичай використовуються три відтінки, світліші ромби з горизонтальними довгими діагоналями і темніші в інших двох напрямках, що посилює їх ефект тривимірності. Існує одна відома присутність ромбічної та тригексагональної мозаїк [en] в англійській геральдиці [en] - на гербі армії Geal/e [19] .
Ромбічна мозаїка іноді здійснюється з меншим ступенем симетрії. Наприклад, такі два варіанти. Іноді ці варіанти називаютьсякубічною мозаїкоюза ілюзію тривимірних складених кубиків, видимих під кутом.
У фізиці конденсованого стану ромбічна мозаїка відома яккубічна решіткаабоподвійна решітка кагоме. Вона є однією з кількох повторюваних структур, що використовувалися для вивчення моделі Ізинга та пов'язаних систем взаємодії спинів у двоатомних кристалах [21] , а також вивчалася в теорії перколяції [22] .
Ромбічна мозаїка має *632 симетрій, але вершини можна пофарбувати в кольори, що чергуються, що призводить до *333.симетрій.
| (2 кольори) | (3 кольори) |
Ромбічна мозаїкає двоїстою тригексагональною мозаїкою [en] , а тому належить множині мозаїк, однорідних двоїстим. Вона також є частиною послідовності ромбічних багатогранників і мозаїк з групою симетрій Коксетера [n,3], яка починається з куба, який можна розглядати як ромбічний шестигранник, а ромбами в ньому служать квадрати.n-ий елемент цієї послідовності має конфігурацію граней [en] V3.n.3.n.
| V(3.3) 2 | V(3.4) 2 | V(3.5) 2 | V(3.6) 2 | V(3.7) 2 | V(3.8) 2 | V(3.∞) 2 |
Ромбічна мозаїка є одним із багатьох способів замощення площини ромбами. Інші включають
плоску версію квадратного паркету (з паралельним перенесенням) мозаїку, використану у схемі жорсткого складання Міура-орі (що чергуються паралельні переноси та відображення) мозаїку Пенроуза, яка використовує два види ромбів з гострими кутами 36° і 72° аперіодично, а також інші
До них примикає і мозаїка «Сфінкс», яка подібно до ромбічної мозаїки базується на шестикутній мозаїці.