Розбір завдань тренувальних завдань з кінематики
У більшості комп'ютерних варіантів завдань кожного учасника генеруються свої набори даних
Завдання 1 "З якою швидкістю рухається друга машина щодо першої (4 бали)".
Дві машини наближаються до перехрестя, рухаючись під прямим кутом одна до одної зі швидкостями 54 км/год та 72 км/год. З якою швидкістю рухається друга машина щодо першої?
=?
Рішення . Швидкості, задані за умови, виміряно щодо системи відліку, пов'язаної із землею. Уточнимо позначення цих швидкостей:
, .
Швидкість другої машини щодо першої - це швидкість другої машини, виміряна в системі відліку, пов'язаної з першою машиною (наприклад, водієм першої машини). Якщо перша машина рухається щодо землі зі швидкістю , то системі відліку першої машини земля рухається з такою самою за величиною швидкістю, але у зворотному напрямку:
.
Для водія першої машини швидкість другої машини складатиметься з її швидкості щодо землі та швидкості землі в системі відліку першої машини:
.
Розмір відносної швидкості другої машини v 21 дорівнює гіпотенузі прямокутного трикутника, утвореного швидкостями машин щодо землі. За теоремою Піфагора знаходимо:
.
Зауважимо, якщо відносна швидкість виявиться спрямованою по лінії, що з'єднує машини, то продовжуючи рухатися з такими швидкостями, вони неминуче зіткнуться!
Завдання 2 "Обчисліть середню швидкість руху людини (8 балів)"
Обчисліть середню швидкість руху людини, якщо першу третину шляху він йшов зі швидкістю 1,5 м/с, а частину шляху, що залишилася, зі швидкістю 1,0 м/с .
=?
Рішення . Відповідно до загального визначення середньої швидкості:
,
де S -весь пройдений шлях, а t - весь час руху.
Часи t 1 і t 2 проходження першої третини шляху та інших двох третин рівні відповідно
, .
Враховуючи, що t = t 1 + t 2 знаходимо
.
Відповідь: 1,125 м/с.
Завдання 3 "Знайдіть прискорення та шлях автомобіля (8 балів)"
Автомобіль, що рухається зі швидкістю 36 км/год, розганяється протягом десяти секунд до 108 км/год і потім за півхвилини скидає швидкість до нуля. Вважаючи рух при розгоні та гальмуванні рівнозмінним, знайдіть прискорення та шлях для кожного з проміжків часу.
Рішення . Застосовуючи формулу швидкості для рівноприскореного руху протягом часу t 1 отримаємо
,
.
Знаходимо шлях, пройдений на ділянці розгону:
.
Швидкість при гальмуванні машини змінюється за формулою
убуваючи за час t 2 до v = 0. Підставляючи нуль у праву частину рівняння (1), і виражаючи величину прискорення, отримуємо
.
Зазначимо, що в даному випадку проекція прискорення на вісь O X є негативною: a 2 x = — a 2 = –1 м/с 2 .
Відповідний шлях складає
.
Відповідь: a 1 = 2 м/с 2, S 1 = 200 м, a 2 = 1 м/с 2 (a 2 x = -1 м/с 2), S 2 = 450 м.
Завдання 4 "Обчисліть максимальну висоту підйому тіла, кинутого під кутом до горизонту (8 балів)"
Обчисліть максимальну висоту підйому тіла, кинутого під кутом 30 до горизонту зі швидкістю 20 м/с. Опір повітря нехтуйте.
Рішення . Проаналізуємо, як згодом змінюється проекція швидкості на вісь OY . C існує такий час t 1 = v 0 y / g , у якому проекція vy перетворюється на нуль. До цього часу ви позитивна, тобто тіло рухається вгору. Після моменту часу проекція вистає негативною, тобто тіло рухається вниз.
Очевидно, що в цей момент часу досягається максимальна висота hmax.
.
Використовуючи чисельні дані, знаходимо:
.
Завдання 5 "Модель: Виміряйте швидкість візка (8 балів)"
Завдання:Виміряйте за допомогою оптичних датчиків швидкість візка. Занесіть результати у звіт (меню у верхній частині програми) та надішліть звіт на сервер. Стійки з датчиками розташуйте так, щоб вони фіксували моменти проходження візка. Позицію датчиків можна міняти мишею або за допомогою пункту введення. Кінцевий результат округляйте до сотих. Приклад округлення: 0,605 можна округлювати до 0,60 або 0,61.
Рис.1 Початковий стан системи
Для вимірювання швидкості слід встановити стійки з датчиками, наприклад, на позиції з координатами x 1 =0.2 м та x 2 =0.8 м та натиснути кнопку “Пуск”. Візок доїде до протилежної стінки і зупиниться, а на датчиках з'являться показання (рис.2).
Рис.2 Кінцевий стан системи
Швидкість знаходимо як відношення шляху між x2 і x1 до витраченого часу t2-t1:
v = (x 2 - x 1) / (t 2 - t 1)
При цьому ми спочатку помилимося і напишемо v = (0.8-0.2)/(2.5-0.278) м/с = 0.6/2.222 м/с = 0.270027 … м/с
(Замість x 2 = 0.9 м написали x 2 = 0.8 м). Округлюємо до сотих: v =0.27 м/с
Відкриваємо пункт меню “Звіт…” у верхній частині програми, і в вікні, що з'явилося, вводимо це значення (рис.3):
Мал. 3 Надсилання звіту
Натискаємо кнопку "Надіслати результати на сервер" і отримуємо відгук з сервера з інформацією про неправильне рішення:
Рис.4 Результат перевірки з боку сервера
При натисканні кнопки “Закрити” будь-яка інформація у вікнізвіту зберігається і з'являється знову при відкритті звіту. Якщо натиснути кнопку “Очистити”, відновлюється початковий стан вікна звіту з порожніми пунктами введення.
Ми можемо натиснути кнопку “Очистити”, потім кнопку “Закрити”, перевірити правильність наших дій та обчислень.
Наприклад, заново виконати вимірювання при тих самих або інших відстанях між датчиками. Виявляємо помилку і виправляємо її:
v = (x 2 - x 1) / (t 2 - t 1) = (0.9-0.2) / (2.5-0.278) м / с = 0.7 / 2.222 м / с = 0.360036 ... м / с
Округлюємо до сотих: v = 0.36 м/с.
Відкриваємо звіт, вводимо відповідь, надсилаємо звіт на сервер та отримуємо:
Рис.5 Результат перевірки нового результату
Підсумковий бал за виконання завдання вийшов 7 з 8 можливих, оскільки була одна додаткова спроба надсилання результатів на сервер.
Завдання 6 "Тест: Кінематика (16 питань, 25 балів)"
Тест розбиратиметься в окремому документі.
Завдання 7 "Модель: Виміряйте середню та миттєву швидкість візка (12 балів)"
Завдання:По похилій рейці з точки з координатою х=0 зі стану спокою починає рівноприскорено рухатися візок. Визначте час руху візка до його удару об стінку, а також його середню та кінцеву швидкість на відрізку від x=0 до x=0.5
Час визначте з точністю до тисячних, а решту величин до сотих, і надішліть результати на сервер. У проміжних обчисленнях зберігайте не менше 4 цифр.
Оптичні датчики спрацьовують під час перетину світлового променя датчика прапорцем візка. Положення воріт з оптичними датчиками можна змінювати за допомогою миші або задаючи значення координат х 1 і х2 за допомогою клавіатури.
На рис.6 показано початковий стан системи.
Рис.6 Початковий стан системи
Першу стійку пересуваємо в позицію x 1=0.5 м, другу (за допомогою пункту введення для x 2) - в позицію x 2=0.99999 м (якщо x 2=1 м візок не перетинає промінь, тому ставимо стійку дуже близько до x =1 м). Натискаємо кнопку Пуск і отримуємо, наприклад, t 1 = 1.443 с, t 2 = 2.041 с (рис.7).
Рис.7 Кінцевий стан системи
Повний час руху дорівнює t 2. Середня швидкість v ср руху на відрізку від x = 0 м до x = 0.5 м дорівнює x 1 / t 1. Кінцева швидкість v 1 руху на цьому відрізку в два рази більша, тому що при рівноприскореному русі v ср = (v 0 + v 1) / 2, а v 0 = 0. Тобто v 1 простіше обчислити, ніж виміряти з достатньою точністю.