РОЗРАХУНОК І МОДЕЛЮВАННЯ МАГНІТНИХ ПОЛІВ, СТВОРЮВАНИХ СИСТЕМОЮ «КІЛЬЦЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦЯ – СОЛЕНОЇД» -

Розрахунки та моделювання магнітних полів для системи «кільця Гельмгольця – соленоїд» проводилися під час проектування та створення комплексу для перевірки магнітометрів інклінометра. Цей комплекс [1, 4] дозволяє здійснювати перевірку магнітометрів інклінометра безпосередньо на бурових майданчиках нафтогазових родовищ.

Метою роботи є підтвердження можливості створення однорідного магнітного поля заданої величини в обмеженому геометричними розмірами установки об'ємі.

Загальний вигляд комплексу представлено на рис. 1.

Комплекс складається з установки 1 для базування на ній інклінометра 5, що перевіряється, блоку зв'язку 2 з комп'ютером 3, з'єднувальних кабелів і джерела живлення установки 4. Для роботи з комплексом підходить будь-який персональний комп'ютер. Система «кільця Гельмгольца – соленоїд» служить до створення постійного спрямованого магнітного поля відомої величини, з допомогою якого здійснюється перевірка магнітометрів інклінометра.

Розрахунок кілець Гельмгольця

Кільцями Гельмгольця називається система з двох однакових тонких котушок, розташованих співвісно на відстані, що дорівнює їхньому радіусу. У просторі між котушками виходить поле високої однорідності [2].

Сумарний модуль магнітного поля може бути отриманий із закону Біо-Савара-Лапласа:

(1)

де µ0 = 1,257 · 10 -6 Гн / м; I - Струм, що протікає по витках котушок кілець, в амперах; R - радіус котушки, в метрах; х - відстань по осі котушок, в метрах.

Котушки складаються з N витків. Загальний струм N∙I.

Для системи двох кілець Гельмгольця вираз магнітної індукції в геометричному центрі набуде вигляду:

(2)

Магнітне поле, створюване кільцями Гельмгольця, у кожній точці поздовжньої осі Х обчислюється за такою формулою:

(3)

Магнітометри інклінометра поміщені в циліндричний корпус діаметром 30 мм на відстані 10 мм один від одного і розташовані ортогонально. Довжина магнітометра 28 мм. Виходячи з цього, необхідно створити кільця Гельмгольця і соленоїд таких розмірів, магнітне поле яких буде рівномірним в об'ємі, що вдвічі перевищує об'єм, займаний чутливими елементами.

Виходячи з технічних вимог до виробу, кільця Гельмгольця та соленоїд повинні живитися від одного джерела, максимальний струм якого не повинен перевищувати 0,3 А. Максимальний діаметр кілець 300 мм. Діаметр намотувального дроту, що використовується, дорівнює 0,45 мм. Вважати робочою зону, у якій похибка максимального однорідного магнітного поля вбирається у 1 %. Така похибка допустима здійснення перевірки працездатності магнітометрів інклінометра.

Маючи вихідні дані, за формулою (2) можна обчислити число витків намотувального дроту на кожному кільці:

(4)

Мал. 1. Загальний вид установки

Мал. 2. Розповсюдження магнітного поля в центрі кілець Гельмгольця вздовж осі Х

Опір системи з 2-х кілець:

, (5)

де ρ = 0,0178 Ом·мм²/м – питомий опір міді; lср = π∙D∙n – довжина дроту в одному кільці. Діюча напруга на кінцях намотувального дроту кілець визначається:

(6)

Розрахункові значення індукції магнітного поля, створеного кільцями Гельмгольця вздовж осі Х представлені на рис. 2. Зона максимального однорідного магнітного поля з похибкою в 1% осі Х становить 90 мм.

Розрахунок соленоїда

Діаметр соленоїда має бути максимальним і поміщатися між кільцями Гельмгольця.

Вихідні дані: радіус котушки Rк = 0145 м; діючий струм I = 0,3 А;довжина котушки lк = 0,3 м; діаметр дроту dп = 0,00045 м; індукція магнітного поля соленоїда В = 0,000060 Тл.

Напруженість магнітного поля:

(7)

Вираз для розрахунку напруженості магнітного поля соленоїда:

(8)

де В - індукція створюваного магнітного поля, Тл; I – сила струму, А; n – число витків на одиницю довжини, n = N/l; R – радіус соленоїда, м; l - Довжина соленоїда, м; x - координата точки на осі соленоїда.

Індукція магнітного поля всередині соленоїда [2], у середині поздовжньої осі, тобто при x = l/2 обчислюється як:

(9)

З формули (9), маючи відомі дані магнітної індукції, сили струму та геометричних розмірів соленоїда, можна знайти необхідну кількість витків намотувального дроту:

(10)

Мал. 3. Поширення магнітного поля у центрі соленоїда вздовж осі Z

Крок намотування дроту на соленоїд:

(11)

де t – крок намотування дроту, мм.

Опір соленоїда визначається, як

(12)

де dп – діаметр дроту, м; ρ – питомий опір міді 0,0178 Ом·мм²/м; Діюча напруга визначається:

(13)

Розрахункові значення індукції магнітного поля, створеного соленоїдом вздовж осі Z представлені на рис. 3.

Зона максимального однорідного магнітного поля з похибкою в 1% осі Z становить 34 мм від центру соленоїда в різні сторони.

Комп'ютерне моделювання магнітних полів

Моделювання магнітних полів, створюваних системою «кільця Гельмгольця – соленоїд», проводилося серед «Comsol» [3]. Розрахунок магнітного поля виконувався в модулі Magnetic Fields (mf) [5]. Дані геометричних розмірів, величини струмів, що протікають, і кількості витків використовувалися ті ж, що і при аналітичному розрахунку,а також згідно з технічним завданням на розробку комплексу для перевірки магнітометрів інклінометра. Для більш докладної візуалізації поширення магнітних силових ліній у системі «кільця Гельмгольця – соленоїд» представлені у спрощеному вигляді. Оскільки кільця Гельмгольца і соленоїд включаються по черзі, спочатку моделюється робота соленоїда, а потім робота кілець Гельмгольца. На рис. 4 а показано поширення магнітних силових ліній в соленоїді.

Подана на рис. 4 б залежність показує, що зона максимального однорідного магнітного поля з похибкою, що не перевищує 1 %, становить 33 мм в обидві сторони від центру соленоїда по осі Z.

На рис. 5, а показано поширення магнітних силових ліній поля при роботі кілець Гельмгольца.

Мал. 4. а – поширення магнітних силових ліній у соленоїді; б - величина магнітної індукції соленоїда в залежності від координати точки, що лежить на поздовжній осі Z

Мал. 5. а – поширення магнітних силових ліній у кільцях Гельмгольця; б – величина магнітної індукції кілець Гельмгольця залежно від координати точки, що лежить на поздовжній осі Х

Подана на рис. 5 б залежність показує, що зона максимального однорідного магнітного поля з похибкою, що не перевищує 1 %, становить 40 мм в обидві сторони від центру кілець Гельмгольця по осі X.

Висновок

Результати аналітичного моделювання показують розбіжності з графіками залежності величини магнітного поля від координати точки осях соленоїда і кілець Гельмгольца, отриманими при моделюванні в середовищі Comsol. Розбіжність результатів моделювання серед Comsol з розрахунковими значеннями для областей простору, де магнітне поліоднорідно, не перевищує для соленоїда 3%, а кілець Гельмгольца 12%. Це пов'язано з тим, що при використанні котушок кілець Гельмгольця з великою кількістю витків друга похідна при розкладанні ряд Тейлора не дорівнює нулю для пар витків, що знаходяться на відстані, відмінному від R/2 вздовж осі Х, щодо геометричного центру системи. Внаслідок чого неоднорідність магнітного поля збільшується. Розрахунки та моделювання магнітних полів для системи «кільця Гельмгольця – соленоїд» при заданих геометричних розмірах та електричних параметрах живлення системи показують, що при позиціонуванні магнітометрів інклінометра, що перевіряється, в центрі системи здійснювати перевірку магнітометрів інклінометра в польових умовах можливо.

Рецензенти:

Дмитрієв В.С., д.т.н., професор НД ТПУ, м. Томськ;

Боріков В.М., д.т.н., директор інституту неруйнівного контролю НІ ТПУ, м. Томськ.